集合中互斥项的子集

Question

我设置了S_0, ..., S_N 。 如何找到最大子集T ，使得T和S_i的交点I_i （对于每个0 <= i <= N）最多包含一个元素。

我对此有一个解决方案，但是我猜测它的速度不必要地慢（本质上是几个嵌套的for循环尝试所有组合）。 所以我的问题是：

• 是否有针对此问题的有效算法？
• 如果不是，是否有找到大子集T的有效算法？

Answer 1

我认为您不太可能找到解决此问题的有效通用算法，因为我认为它是NP完整的。

如果您有一个有效的算法来解决这个问题，那么您可以解决最大独立集问题 。

证明草图

假设您有一个图，然后为每个边构造一个包含{i，j}的集合，其中i和j是由边连接的顶点。

然后，这些集合的最大子集T将是图形的最大独立集合。

转换为最大独立集

更有用的是，当且仅当存在同时包含a和b的图集时，您还可以通过为图找到一个最大的独立图集来表达问题，其中a和b之间存在边。

然后，您可以使用一些标准求解器来解决最大的独立集问题，例如Pythons NetworkX中的那个。

Answer 2

您可以通过缓存集合S_a和S_b的交集是否为空来加速程序。 而不是建立集合T ，我认为它是S中某些集合的并集。 您保留一个集合索引的列表T ，并检查集合S_n是否与T相交，请检查表中是否存在S_n与其中一个相交的T中的集合。

我在我的一个Python程序中执行了此操作，因为设置交集测试很慢。