R中Logistic分布的Mle的牛頓方法的實現

Question

考慮以下邏輯密度：

乳膠：$$ f \\ left（x; \\ theta \\ right）\\ frac {\\ exp \\ left \\ {-\\ left（x_i- \\ theta \\ right）\\ right \\}} {\\ left（1+ \\ exp \\ left \\ {-\\ left（x_i- \\ theta \\ right）\\ right \\} \\ right）^ 2} $$

相應的對數似然由下式給出：

乳膠：$$ l \\ left（\\ theta \\ right）= n \\ theta -n \\ bar {x} -2 \\ sum_ {i = 1} ^ {n} log \\ left（1+ \\ exp \\ left \\ {- \\ left（x_i-\\ theta \\ right）\\ right \\} \\ right）$$

不幸的是，無法以封閉形式獲得$ \\ the $的均值（mle），因此我不得不編寫一種用於數值優化的算法。 我認為使用牛頓法尋找$ l \\ prime \\ left（\\ theta \\ right）= 0 $的點是個好主意

現在，如果我們要使用牛頓法，我們將需要對數似然的一階和二階導數，它們分別為：

乳膠：$$ l \\ prime \\ left（\\ theta \\ right）= n-2 \\ sum_ {i = 1} ^ n \\ frac {\\ exp \\ left \\ {-\\ left（x_i- \\ theta \\ right）\\ right \\}} {\\ left（1+ \\ exp \\ left \\ {-\\ left（x_i- \\ theta \\ right）\\ right \\} \\ right）} $$

和

乳膠：$$ l \\ prime \\ prime \\ left（\\ theta \\ right）= -2 \\ sum_ {i = 1} ^ n \\ frac {\\ exp \\ left \\ {-\\ left（x_i- \\ theta \\ right）\\ right \\}} {\\ left（1+ \\ exp \\ left \\ {-\\ left（x_i- \\ theta \\ right）\\ right \\} \\ right）^ 2} $$

由於邏輯分布類似於正態分布，因此我們可以將樣本均值用作初始猜測$ \\ theta ^ {（0）} $，然后根據熟悉的公式進行處理：

乳膠：$$ \\ theta ^ {（1）} = \\ theta ^ {（0）}-\\ frac {l ^ \\ prime \\ left（\\ theta ^ {（0）} \\ right）} {l ^ {\\ prime \\ prime} \\ left（\\ theta ^ {（0）} \\ right）} $$

我是R的新手，因此希望在編寫代碼方面有所幫助。

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先感謝您

編輯 ：我發現統計網站上的一些人以他們所有的智慧決定將其遷移到我的LaTeX代碼未顯示的地方，而且人們也不是從事分發工作的統計學家。 如果可以的話，請提供幫助，但我可以理解為什么我的線程似乎難以理解。

Answer 1

當您在這里提出一個非常具體的問題時，我將回答更廣泛的問題，那就是如何通過最大程度地提高可能性來獲得MLE。 在這種情況下，我將簡單地使用R的內置邏輯函數來獲取每個點的對數似然性並最大化總和。 如果出於某些特殊原因，您想“手動”執行更多操作，請指定您的限制條件。

用theta=30生成一些隨機數據：

n <- 1000
theta <- 30
x <- rlogis(n, theta)

優化對數可能性：

optimize(function(theta) -sum(dlogis(x, location=theta, log=TRUE)), c(-100,100))
## $minimum
## [1] 29.97946
## 
## $objective
## [1] 2024.383

Answer 2

鍵入?uniroot作為幫助頁面。 然后寫方程式，以便有一些函數，例如f(x) = left(x)-right(x) ，您希望找到它的根，即x的值將f(x)設置為零。 然后將起作用的內容填充到uniroot 。