在最多包含兩個負邊的圖形中查找最短路徑距離

Question

我得到一個有向圖，其中每個邊都有成本。利用圖中最多有兩個負邊的事實，我的目標是找到從給定節點s到V中所有節點的最短路徑距離。該算法的時間復雜度應為O(|E| + |V|*log|V|) ，因此我認為我需要應用Dijkstra的算法。

我猜想我需要以某種方式將給定的圖轉換為具有非負權重的新圖，以使該圖中從s到v的最短路徑等同於給定圖中所需的最短路徑。或者也許我需要修改Dijkstra的算法？

我現在正在掙扎。 任何幫助，將不勝感激！

Answer 1

由於Dijkstra的算法過於貪婪，因此不適用於負權重。 為此，您需要其他一些算法，例如Bellman-Ford算法 。

但是，如果您仍然想使用Dijkstra的算法，則有一種已知的方法。 在這種方法中，您需要重新分配成本，以使所有成本變為正數。

為此，您可以查看Johnson算法 。 Johnson的算法包括以下步驟（摘自Wikipedia ）：

1. 首先，將新節點q添加到圖中，並通過零權重邊緣將其連接到其他每個節點。
2. 其次，使用Bellman-Ford算法，從新頂點q開始，為每個頂點v查找從q到v的路徑的最小權重h（v）。如果此步驟檢測到負周期，則算法終止。
3. 接下來，使用Bellman-Ford算法計算出的值對原始圖的邊進行加權：從u到v的邊（長度為w（u，v））被賦予新的長度w（u，v）+ h（ u）-h（v）。
4. 最后，將q刪除，並使用Dijkstra算法在重新加權圖中找到從每個節點s到其他每個頂點的最短路徑。

Answer 2

只是一些定義開始：

• 令負邊為n1 = (n1s, n1e) （即從頂點n1s到頂點n1e ）
  和n2 = (n2s, n2e) 。

• 將我們要查找的最短路徑的起點和終點分別定義為s和e 。

基本思路：

以負權重邊的起始頂點和結束端點的每個組合為起點，以負權重邊的結束頂點和端點的每個頂點為終點，多次運行Dijkstra算法。找到實際的最短路徑。

算法：

• 使用Dijkstra的算法確定以下最短路徑，所有路徑均不包括兩個負邊緣：

   se = s -> e // shortest path from s to e sn1 = s -> n1s // shortest path from s to n1 sn2 = s -> n2s // shortest path from s to n2 ne1 = n1e -> e // shortest path from n1 to e n1n2 = n1e -> n2s // shortest path from n1 to n2 ne2 = n2e -> e // shortest path from n2 to e n2n1 = n2e -> n1s // shortest path from n2 to n1 

• 現在，只需計算以下項的最小值：

   se // s to e sn1 + n1 + ne1 // s to n1 to e sn2 + n2 + ne2 // s to n2 to e sn1 + n1 + n1n2 + n2 + ne2 // s to n1 to n2 to e sn2 + n2 + n2n1 + n1 + ne1 // s to n2 to n1 to e 

由於Dijkstra算法有7次恆定運行，
運行時間為O(7(|E| + |V| log |V|)) = O(|E| + |V| log |V|) 。