形式為2 ^ i-1的數字的GCD

Question

如何獲得1 <= a [x] <= 100的GCD（2 ^ a [i] -1,2 ^ a [j] -1）

from fractions import gcd
powj=pow(2,n[j])-1
powk=pow(2,n[k])-1
gcdjk=gcd(powj,powk)

導致大量故障，並給出運行時錯誤。
我看不到2 ^ i-1值中的模式，除了素數除1及其本身外沒有其他因子。

i  2^i -1
--------------
1  1 = 1
2  3 = 1,3
3  7 = 1,7
4  15 = 1,3,5,15
5  31 = 1,31
6  63 = 1,3,7,9,21,63
7  127= 1,127
8  255= 1,3,5,15,17,51,85,255

編輯：僅需要解決2 ^ i-1形式的數字。 以下是代碼：

import sys
import math
from fractions import gcd

t=int(input())
for i in range(0,t):
    door=0
    c=int(input())
    n = map(int,sys.stdin.readline().split(' '))
    for j in range(0,c-1):
        for k in range(j+1,c):
            if( gcd(n[j],n[k]) == n[k]):
                powj=pow(2,n[j])-1
                powk=pow(2,n[k])-1
                gcdjk=gcd(powj,powk)
                if(gcdjk==powk):
                    door = door+1
                else:
                    door = door-gcdjk
    print (door)

輸入樣本：

2
3
10 2 3
2
3 5

約束：

1<=T<=20
1<=ArraySize<=10^5
1<=a[i]<=100

Answer 1

考慮二進制GCD算法 。 如果兩個操作數均為2 ⁱ -1形式，則可以大大簡化。

首先，第一步的結尾處顯然沒有零，因此直接進入循環。

在循環中，在減法中，您有兩個2 ⁱ -1形式的數字，並且左手邊比右手邊大，因此減法僅重置y低位位數在x設置，即減法等於y &= ~x 。 減法之后緊接着是y向右移動尾隨零的數目，因此您再次具有2 ⁱ -1形式的數字，但popcnt(x)較短。

由此可見，只有長度（即指數）和身份相同才重要
gcd（2 ^a -1，2 ^b -1）= 2 ^{gcd（a，b）} -1從其得出。

Answer 2

這些數字很小。 借助Python的內置bignum處理，它們在歐幾里得算法fractions.gcd的范圍之內。gcd使用：

>>> fractions.gcd(2**50-1, 2**100-1)
1125899906842623L

您的錯誤來自其他地方。 當您嘗試遍歷10000個元素列表中的所有數字對時，您甚至可能只是超時。 大約有五千萬個這樣的對。 根據您獲得多少時間，您的算法可能只是太慢了。

Answer 3

這是您可以使用euclid的算法求解兩個冪的簡單方法，而無需實際評估它們：-

我們需要找到一個％b來解決對GCD使用euclids算法的問題：

a = 2 ^ x-1 b = 2 ^ y-1

和a> b

我們需要表達a = k * b + m，其中m <b然后a％b = m

假設k = 2 ^（xy）

2 ^ x-1 = 2 ^（xy）*（2 ^ y-1）+ m，m = 2 ^（xy）-1

於是

a％b = m = 2 ^（xy）-1

因此m再次具有2減1形式的相似冪，因此我們可以對其應用euclids算法。

進一步分析 ：-

a = 2^x-1
b = 2^y-1 

GCD(a,b) = F(x,y)

where 

F(x,y) = x         if x==y
F(x,y) = F(x-y,y)  if x > y
F(x,y) = F(x,y-x)  if y < x

From further analysis F(x,y) = GCD(x,y)

參考： -GCD