4乘3鎖模式

Question

我遇到了這個問題 。

要求計算特定長度的鎖定模式可以在4x3網格中進行並遵循規則的方式的數量。 可能有一些點不得包含在路徑中

有效模式具有以下屬性：

• 可以使用它第一次觸摸的點序列（以與繪制圖案相同的順序）來表示圖案，從（1,1）到（2,2）的圖案與圖案不同從（2,2）到（1,1）。

• 對於模式表示中的每兩個連續點A和B，如果連接A和B的線段通過其他一些點，則這些點也必須在序列中並且在A和B之前，否則模式將無效。 例如，以（3,1）然后（1,3）開頭的模式表示是無效的，因為段經過（2,2），它沒有出現在（3,1）之前的模式表示中，並且正確該模式的表示為（3,1）（2,2）（1,3）。 但模式（2,2）（3,2）（3,1）（1,3）是有效的，因為（2,2）出現在（3,1）之前。

• 在模式表示中，我們不會多次提及相同的點，即使模式將通過另一個有效的段再次觸及此點，並且模式中的每個段必須從一個點到另一個點，該模式沒有之前觸摸它可能會經過一些已經出現在模式中的點。

• 模式的長度是模式表示中每兩個連續點之間的曼哈頓距離的總和。 兩點（X1，Y1）和（X2，Y2）之間的曼哈頓距離是| X1-X2 | + | Y1 - Y2 | （其中| X |表示X的絕對值）。

• 模式必須至少觸及兩點

我的方法是蠻力，循環點，從點開始並使用遞歸遞減長度直到達到零長度然后將組合數加1。

有沒有辦法在數學方程中計算它或者有更好的算法？

更新：這是我所做的，它給出了一些錯誤的答案！ 我認為問題在於isOk功能！ notAllowed是不允許的點的全局位掩碼。

bool isOk(int i, int j, int di,int dj, ll visited){
    int mini = (i<di)?i:di;
    int minj = (j<dj)?j:dj;

    if(abs(i-di) == 2 && abs(j-dj) == 2 && !getbit(visited, mini+1, minj+1) )
        return false;
    if(di == i && abs(j - dj) == 2 && !getbit(visited, i,minj+1) )
        return false;
    if(di == i && abs(j-dj) == 3 && (!getbit(visited, i,1) || !getbit(visited, i,2)) )
        return false;
    if(dj == j && abs(i - di) == 2 && !getbit(visited, 1,j) )
        return false;

    return true;
}

int f(int i, int j, ll visited, int l){
    if(l > L) return 0;
    short& res = dp[i][j][visited][l];
    if(res != -1) return res;
    res = 0;
    if(l == L) return ++res;

    for(int di=0 ; di<gN ; ++di){
        for(int dj=0 ; dj<gM ; ++dj){
            if( getbit(notAllowed, di, dj) || getbit(visited, di, dj) || !isOk(i,j, di,dj,  visited) )
                continue;
            res += f(di, dj, setbit(visited, di, dj), l+dist(i,j , di,dj));
        }
    }
    return res;
}

Answer 1

我對另一個問題的回答也可以適應這個問題。

設f（i，j，visited，k）完成部分模式的方式數，當我們當前在節點（i，j）時，已經訪問了訪問集中的頂點並且到目前為止已經走了一個路徑長度k個。 我們可以將訪問表示為位掩碼。

我們可以通過嘗試所有可能的下一步移動來遞歸計算f（i，j，visited，k）並應用DP來重用子問題解決方案：

f（i，j，visited，L）= 1

如果k> L，則f（i，j，visited，k）= 0

f（i，j，visited，k）= sum（可能的移動（i'，j'）：f（i'，j'，訪問UNION {（i'，j'）}，k + dis（（i， j），（i'，j'）））

可能的移動是那些跨越多個被訪問頂點然后以單向（並且不被禁止）結束的移動。

如果D是禁止頂點的集合，問題的答案是

sum（（i，j）不在D：f（i，j，{（i，j）}，L））。

運行時類似於O（X ^ 2 * Y ^ 2 * 2 ^（X * Y）*最大可能長度）。 我想最大可能的長度實際上遠低於1000 。

更新：我實施了這個解決方案，它被接受了。 我用以下方式列舉了可能的移動：假設我們在點（i，j）並且已經訪問了所訪問的頂點集。 枚舉所有不同的互質對（dx，dy）0 <= dx <X和0 <= dy <Y。然后找到最小的k，其中P_k =（i + k dx，j + k dy）仍然是有效網格點並且P_k沒有訪問過 。 如果不禁止P_k，則為有效移動。

最大可能路徑長度為39。

我正在使用大小為3 * 4 * 2 ^ 12 * 40的DP陣列來存儲子問題結果。

Answer 2

可以使用組合的一些屬性來優化強力方法：

1. 使用鏡像（水平，垂直或兩者），您可以為每個找到的組合生成4種組合（水平或垂直線除外）。 也許你只能考慮從一個象限開始的組合。

2. 您通常可以通過平移生成相同長度的其他組合（移動組合）。