如何使用lambda表達式在Racket（或Scheme）中編寫equals謂詞

Question

我可以看到如何使用lambda表達式（來自SICP）在Racket中編寫cons ， cdr ， car和其他表達式：

(define (cons x y)
  (lambda (m) (m x y)))

(define (car z)
  (z (lambda (p q) p)))

(define (cdr z)
  (z (lambda (p q) q)))

有沒有辦法以相同的方式編寫equals謂詞？

我希望能夠比較包含數字的已定義表達式，還可以比較不是數字的任意表達式。

我想我有興趣從一組最小的符號開發數學。 根據我的理解，它與從Set Theory開發數學不同，因為Set Theory的基礎知識使用“是元素”符號而空集符號作為唯一的非邏輯符號。 如果我理解正確，Lambda Calculus使用“函數”符號（lambda）作為其唯一必要的非邏輯符號。 但是，一切都可以從那里建立起來。 這個對嗎？

Answer 1

數字的平等可以做到。 我發現這個博客有這個以及更多：

(define (zero  f) (λ (x) x))
(define (succ  n) (λ (f) (λ (x) (f ((n f) x)))))
(define one   (succ zero))
(define two   (succ one)) ; continue to define all numbers
(define (add a b) ((b succ) a))

;; here we use you definition of cons, car, cdr
(define (pred n) 
  (cdr ((n (λ (p) 
             (cons (succ (car p)) (car p)))) 
        (cons zero zero))))

(define (if c a b) (c a b))
(define (true a b) a)
(define (false a b) b)
(define (zero? n) ((n (λ (x) false)) true))
(define (sub a b) ((b pred) a))
(define (mult a b) ((a (λ (x) (add x b))) zero))

;; here is numeric compare
(define (= a b) (zero? (sub a b)))

(print-boolean (= (add two two) (mult two two))) ; ==> true    
(print (add two two)) ; ==> 4

這些是打印功能。 這些只會讓你更自然地看到這些值，它們傳遞給它們的方式確實很好，但只是有點神秘。

(define (print n) ((n (λ (n) (+ n 1))) 0))
(define (print-boolean n) (n 'true 'false))

Answer 2

cons ， car和cdr是一組緊密結合的功能，與其他語言非常隔離; 你可以實現它們，但不要對其他任何東西產生實際影響。

但是=是一個更為深遠的功能，其實現取決於語言中其他所有內容的實現：您不能單獨重寫它。 Lambda演算是圖靈完備的，因此當然可以用lambdas實現= ，但你必須圍繞它構建整個語言。

一個示例實現將涉及要求每個方案級別的值（假設我們在lambdas方面實現方案）在解釋器級別表示為cons，其car是表示其類型的數字，其cdr是值某種。 然后=可以比較類型，並在類型匹配時對值進行一些比較。

但現在你必須深入研究你如何表示數字：好吧，很好，教會的數字。 為了實現= ，你如何比較那些平等？ 所有這一切都是可能的，但這是一個比重新實現cons ， car和cdr更復雜的問題。

Answer 3

我認為通常不會這樣做 - 特別是因為函數需要處理它的兩個參數的類型，而這只能用lambda來完成。

真的，答案是“這取決於”。 在這里，SCIP正在實施Racket中的lambda演算。 Lambda演算列表與Racket列表不同，它們是閉包，而不是數據類型。 這里定義的cons ， car和cdr與vanilla Racket語言不兼容。 如果你想使用lambda演算，你將被迫用你的語言實現所有這些。 特別是，您需要構建教會數字以放入列表中，然后通過關注您喜歡的CS教科書來定義它們的相等性。 `

你不能得到廣義的equal? 謂詞，因為這涉及更高級別的結構。 即使我們限制自己，平等也很快變得不可判定 。

Answer 4

沒有等價函數或運算符的等價可以使用模式匹配和映射。 這是一個示例，當字符串的第一部分匹配時，正則表達式匹配會發出#t。 “co”匹配“酷”而不是相反。 這里的匹配只是字符串和數字。 列表很容易添加。 我認為可能有一個lambda / match函數可以像普通的lambda函數一樣工作，也可以匹配。

(define/match (equ? a b)
  [( (? number? a) (? number? b) )
     (case (- a b) [(0) #t] [else #f])]
  [( (? string? a) (? string? b) ) 
     (if (regexp-match? (regexp-quote a) b) #t #f)])