是否可以使用Dijkstra的最短路徑算法找到最短的哈密頓路徑？ （在多項式時間內）

Question

我已經讀過，發現圖中是否存在漢密爾頓路徑的問題是NP完全的，並且由於Dijkstra的最短路徑算法是在多項式時間內運行的，因此無法對其進行修改以找到最短的漢密爾頓路徑。 （此邏輯有效嗎？）

但是，如果在無向圖上給定兩個節點（例如A和Z）（所有邊的成本均為非負值），並且給定的節點（A和Z）至少存在一條哈密頓路徑，該怎么辦？作為終點。 給定這些規范，現在是否可以修改Dijkstra的算法以找到以A和Z為端點的最短哈密頓路徑？ （在多項式時間內）

注意：我只關心從兩個節點中查找最短的漢密爾頓路徑。 例如，如果有一個包含26個節點（標記為A到Z）的圖，則通過所有點但從A開始並在Z結束的最短路徑是什么。（我不關心查找其他具有不同漢密爾頓路徑的路徑端點，僅A和Z）

附加問題：如果答案為“否”，但還有另一種算法可用於解決此問題，它是什么算法，時間復雜度是多少？

（注意：即使我正在尋找漢密爾頓路徑，該問題也將“ hamiltonian-cycle”作為標簽，因為我沒有足夠的代表數來制作標簽“ hamiltonian-path”。但是，假設A和Z完全由一條邊連接，則可以通過找到最短的哈密頓循環然后刪除連接A和Z的邊來找到最短的哈密頓路徑

Answer 1

但是，如果在無向圖上給定兩個節點（例如A和Z）（所有邊的成本均為非負值），並且給定的節點（A和Z）至少存在一條哈密頓路徑，該怎么辦？作為終點。 給定這些規范，現在是否可以修改Dijkstra的算法以找到以A和Z為端點的最短哈密頓路徑？ （在多項式時間內）

您打算如何修改它？ 僅當A和Z之間只有一條路徑並且訪問圖形上的所有其他點時，此方法才有效。 否則，Dijkstra將終止一些較短的路徑，該路徑僅訪問節點的某些子集。 如果在A和Z之間存在哈密頓路徑，則可以解決最長路徑問題，但這也是NP問題。

Answer 2

不，這是不可能的。 您簡化的問題仍然是NP難題。 減少旅行推銷員的費用：

給定一個圖(V, E) ，找到恰好訪問v in V每個v in V的最短路徑。 取v in V的任意頂點v in V 。 將v分為兩個頂點v_source和v_sink 。 使用您的算法查找從v_source到v_sink的最短v_source路徑P P是從v開始和結束的最短周期，它訪問v in V每個v in V 。 由於P是一個循環，因此“起始”頂點無關緊要。 因此， P也是旅行商問題的解決方案。

減少顯然是多項式時間（實際上是常數），所以您的問題是NP難的。