如何使Vect n Int成為Monoid的一個實例

Question

在Idris中， Vect na是表示包含類型a的項的n長度的向量的數據類型。 想象一下，我有一個功能：

foo : Int -> Vect 4 Int
foo n = [n-1, n, n+1, n*4]

函數的主體並不重要，它可以是返回4 Ints向量的任何東西。 現在，我想將此函數與concatMap一起使用，如下所示：

bar : Vect n Int -> Vect (4*n) Int
bar vals = concatMap foo vals

Bar是一個函數，它采用長度為n的Int向量並返回長度為4 * n的向量。

concatMap的類型簽名是：

Prelude.Foldable.concatMap : Foldable t => Monoid m => (a -> m) -> t a -> m

因此，如果我嘗試編譯bar，我會收到錯誤：

 When elaborating right hand side of bar:
     Can't resolve type class Monoid (Vect (plus n (plus n (plus n (plus n 0)))) Int)

這意味着Vect n Int不是monoid的實例。 為了使它成為monoid的一個實例，我需要實現：

Prelude.Algebra.neutral : Monoid a => a

不幸的是，我不知道該怎么做。 List實現了monoid，如下所示：

instance Monoid (List a) where
    neutral = []

但是，如果我嘗試使用中性= []為Vect n Int實現monoid，我收到錯誤：

 When elaborating right hand side of Prelude.Algebra.Vect n Int instance of Prelude.Algebra.Monoid, method neutral:
 |   Can't unify
 |           Vect 0 Int
 |   with
 |           Vect n Int
 |   
 |   Specifically:
 |           Can't unify
 |                   0
 |           with
 |                   n

所以我想知道，我將如何為Vect實現monoid？

Answer 1

你不能實現一個monoid，這樣你就可以使用concatMap寫下該表達式。 想想concatMap的簽名：

(Foldable t, Monoid m) => (a -> m) -> t a -> m

請注意， m在函數參數的返回類型(a -> m)和整個函數的返回類型中必須是相同的Monoid 。 然而， 這不是 Vect na 的情況 。 考慮一下表達式：

concatMap foo vals

這里foo將有一個類型a -> Vect 4 a ，你想要的concatMap的結果是Vect (4*n) a ，其中n是原始向量的長度。 但是這不適合concatMap類型，因為你有一個concatMap的應用程序需要類似的類型：

(Foldable t, Monoid m, Monoid m1) => (a -> m) -> t a -> m1

其中結果monoid和函數返回的值可以是不同的類型，而concatMap強制使用相同的類型。

[a]和Vect na是完全不同的，因為[] 不包括在類型的長度，並且這允許編寫一個concatMap功能。 實際上，這允許您為[]創建Monoid實例，並將其連接為二元運算符。

當你開始將長度附加到一個類型時，這種可能性消失了，因為你不能再混合不同的長度，因此Vect na 不會形成用於連接的monoid。 在一般情況下，連接運算符變為類型a -> b -> c ，特別是它的類型為Vect s是Vect na -> Vect ma -> Vect (n+m) a ，這明顯不同於它的類型對於列表： [a] -> [a] ->[a] 。

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這就是說，你報告的錯誤是由於這樣的事實，當為Monoid類的Vect na編寫一個實例時， neutral值必須是Vect na類型，但[]是Vect 0 a類型。

但是，您可以通過Vect na為Monoid類型類創建不同的實例。 如果這樣的矢量的元素是幺半群，那么你可以創建這種矢量的幺半群。

在這種情況下，他的neutral向量必須是長度為n ，並且你可以給它的元素唯一合理的值是元素Monoid的neutral 。 基本上你想要將Vect na的neutral replicate n neutral 。

然后， Monoid的二元運算將是元素之間操作的元素應用。

所以實例看起來像：

instance Monoid a => Monoid (Vect n a) where
    neutral = replicate n neutral

instance Semigroup a => Semigroup (Vect n a) where
    Nil <+> Nil = Nil
    (x :: xs) <+> (y :: ys) = (x <+> y) :: (xs <+> ys)

不幸的是，我不是Idris用戶/程序員，因此我無法准確地告訴您如何正確編寫此類代碼。 以上只是一個類似Haskell的偽代碼來概括這些概念。