字母，形式語法和語言的挑戰

Question

我們知道，如果A是有限的或與自然數一一對應，則集合A是可數的。

假設ALPH是一個任意的有限字母。

我總結一下我的推論：

a）ALPH上的每種語言都是可數的。 （我認為這是真的）

b）ALPH中所有語言的集合都是可數的（我認為這是錯誤的）

c）對於ALPH上的每種任意語言，我們都有一個生成形式語法。 （我認為這是錯誤的）

d）形式語法可以在ALPH上生成的每種任意語言都是遞歸的。 （我認為這是真的）

有人可以幫助我，甚至可以糾正我嗎？

Answer 1

在不失一般性的前提下，我們可以假設ALPH僅僅是集合{0,1}。 （當然，其他任何有限語言都可以使用集合{0,1}進行編碼）。 假設通過語言L您打算使用ALPH *的任意子集，我們可以假定L是{0,1} *的任意子集。

令S = {0,1} *。

a）集S是可數的。 由於L是S的子集，因此L是可數的。

b）那么，S上所有語言的集合就是S的冪集，可以將其與實數成1-1對應。 因此，不可數。

c）我相信這是錯誤的，同意您的假設。 但是，這取決於您對“生成形式語法”的定義。 如果您允許語法的個別規則無法確定的形式語法，和/或允許無限的生成規則，這將變得不太清楚。 對於“生成形式語法”的任何特定定義，其中“生成形式語法”的集合都是可枚舉的，那么答案當然是錯誤的。

d）總的來說，我認為答案是錯誤的 。 如果您將自己限制在與上下文無關的語言相對應的形式語法中，那么您的答案當然是正確的。 但是，請考慮http://en.wikipedia.org/wiki/Post_correspondence_problem問題尚不確定，但是生成規則很明確。