我可以使用Cholesky分解生成具有相關性1的雙變量正態隨機變量嗎？

Question

是否可以使用cholesky分解技術將correlation = 1設置為correlation = 1 ？

set.seed(88)
mu<- 0
sigma<-1
x<-rnorm(10000, mu, sigma)
y<-rnorm(10000, mu, sigma)
MAT<-cbind(x,y)
cor(MAT[,1],MAT[,2])

#this doesn't work because 1 makes it NOT positive-definite. any number 0 to .99 works
correlationMAT<- matrix(1,nrow = 2,ncol = 2)

U<-chol(correlationMAT)
newMAT<- MAT %*% U 
cor(newMAT[,1], newMAT[,2])  #.....but I want to make this cor = 1

有任何想法嗎？

Answer 1

實際上，可以通過使用透視 Cholesky分解來實現。

correlationMAT<- matrix(1,nrow = 2,ncol = 2)
U <- chol(correlationMAT, pivot = TRUE)
#Warning message:
#In chol.default(correlationMAT, pivot = TRUE) :
#  the matrix is either rank-deficient or indefinite

U
#     [,1] [,2]
#[1,]    1    1
#[2,]    0    0
#attr(,"pivot")
#[1] 1 2
#attr(,"rank")
#[1] 1

注意， U具有相同的列。 如果執行MAT %*% U ，則將MAT[, 1]復制兩次，這意味着第二個隨機變量將與第一個隨機變量相同。

newMAT<- MAT %*% U

cor(newMAT)
#     [,1] [,2]
#[1,]    1    1
#[2,]    1    1

您不必擔心兩個隨機變量是相同的。 請記住，這僅表示標准化后它們是相同的（到N(0, 1) ）。 您可以通過不同的標准偏差來重新縮放它們，然后以不同的均值來移動它們以使其與眾不同。

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樞軸式Cholesky分解非常有用。 我對這篇文章的回答： 通過Pivoted Cholesky因子分解生成具有秩不足協方差的多元正態rv可以提供更全面的信息。