給定一組頂點，如何生成具有接近最小邊數的強連通有向圖？

Question

我正在嘗試對我的圖類的dijkstras算法進行測試。 為此，我生成一個包含幾千個頂點的圖形，然后通過隨機添加數千條邊來連接圖形，直到連接圖形為止。 然后，我可以反復在任意兩個隨機頂點之間進行搜索，並確保它們之間存在路徑。 問題是，我經常最終得到一個幾乎密集的圖形，因為我使用鄰接列表表示，導致我的搜索算法非常慢。

問題 ：給定一組頂點V，如何生成一個強連通的有向圖，其邊緣明顯少於相同頂點上的密集圖？

我在考慮簡單地做以下事情：

vertex 1 <--> vertex 2, vertex 2 <--> vertex 3, ..., vertex n-1 <--> vertex n

然后在整個圖形中隨機添加類似n / 10的邊緣，但這似乎不是提出隨機圖形結構來測試我的搜索算法的最佳方式。

Answer 1

一種方法是維護一組強連接組件（從|V|單頂點組件開始），並在每次迭代中，通過將每個組件的隨機頂點連接到一個連接組件，將它們的一些隨機子集合並為一個連接組件下一個隨機頂點，形成一個循環。

這將產生非常稀疏的圖形，因此根據您的使用情況，您可能還想要拋出一些額外的隨機邊緣。

編輯：直覺我認為你在決定在一次迭代中合並多少組件時，你想要使用指數分布。 不過，我對此沒有任何真正的支持。

Answer 2

我不知道是否有更好的方法，但至少這似乎有效：

• 我會在隨機頂點之間添加E（有向）邊。 這將生成幾個頂點簇。
• 然后，我需要連接這些集群以形成一個集群鏈，從而確保從集群中我可以到達任何其他集群。 為此，我可以將每個簇的隨機頂點標記為“主”頂點，並連接主頂點形成一個循環。 因此，您有一個由群集組成的強連通有向圖（不是頂點）。 最后一個主設備應該連接回第一個主設備，從而創建一個循環。
• 現在，為了將它變成由頂點組成的強連通有向圖，我需要使每個簇本身成為一個強連接的有向圖。 但是，如果我從群集的主節點開始運行DFS並且每次找到葉子時，我都很容易從該葉子添加邊緣到其主頂點。 請注意，DFS不得遍歷群集。

我認為這可能有用，雖然拓撲結構不是真正隨機的，但它會像一個由連接在一起的較小圖形組成的大循環一樣循環。 但根據您需要測試的算法，這可能會派上用場。

編輯：

• 如果之后您想要更隨機的拓撲，則可以在不同簇的頂點之間添加隨機邊。 這不會使規則無效並為您的算法創建更復雜的路徑。