檢查數字是否在斐波那契數列中？

Question

有人要求找到一種檢查數字是否在斐波那契數列中的方法。 約束是
1≤T≤10^ 5

1≤N≤10^ 10

T是測試用例的數量，

N是給定的數字，即要測試的斐波那契候選人。

我使用以下事實寫了它：（5 * n2 + 4）或（5 * n2 – 4）中的一個或兩個是一個完美的正方形：-

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Solution {

 public static void main(String[] args) {

    Scanner sc = new Scanner(System.in);
    int n = sc.nextInt();

    for(int i = 0 ; i < n; i++){
        int cand = sc.nextInt();
        if(cand < 0){System.out.println("IsNotFibo"); return; }
        int aTest =(5 * (cand *cand)) + 4;
        int bTest = (5 * (cand *cand)) - 4;
        int sqrt1 = (int)Math.sqrt(aTest);// Taking square root of aTest, taking into account only the integer part.
        int sqrt2 = (int)Math.sqrt(bTest);// Taking square root of bTest, taking into account only the integer part.
        if((sqrt1 * sqrt1 == aTest)||(sqrt2 * sqrt2 == bTest)){
            System.out.println("IsFibo");
        }else{
            System.out.println("IsNotFibo");
        }
       }
     }
  }

但是它不能清除所有測試用例嗎？ 我可以做哪些錯誤修復？

Answer 1

一個更簡單的解決方案基於以下事實： 在10 ^ 10以下只有49個斐波那契數 。

預先計算它們，並將它們存儲在數組或哈希表中以進行存在性檢查。

運行時復雜度為O（log N + T）：

Set<Long> nums = new HashSet<>();
long a = 1, b = 2;
while (a <= 10000000000L) {
    nums.add(a);
    long c = a + b;
    a = b;
    b = c;
}
// then for each query, use nums.contains() to check for Fibonacci-ness

如果您想走完美的平方路線，則可能要使用任意精度算法：

// find ceil(sqrt(n)) in O(log n) steps
BigInteger ceilSqrt(BigInteger n) {
    // use binary search to find smallest x with x^2 >= n
    BigInteger lo = BigInteger.valueOf(1),
               hi = BigInteger.valueOf(n);
    while (lo.compareTo(hi) < 0) {
        BigInteger mid = lo.add(hi).divide(2);
        if (mid.multiply(mid).compareTo(x) >= 0)
            hi = mid;
        else
            lo = mid.add(BigInteger.ONE);
    }
    return lo;
}
// checks if n is a perfect square
boolean isPerfectSquare(BigInteger n) {
    BigInteger x = ceilSqrt(n);
    return x.multiply(x).equals(n);
}

Answer 2

您對完美正方形的測試涉及浮點計算。 這很可能給您錯誤的答案，因為浮點計算通常會給您不准確的結果。 （浮點數最多近似於實數。）

在這種情況下， sqrt(n*n)可能會為您提供一些小epsilon的n - epsilon ，然后(int) sqrt(n*n)將為n - 1而不是預期的n 。

重組代碼，以便使用整數算術執行測試。 但是請注意，N <10 ¹⁰表示N ² <10 ²⁰ 。 那比long還大...所以您將需要使用...

更新

不僅如此。 首先， Math.sqrt(double)確保為您提供一個double Math.sqrt(double)結果，該結果將四舍五入為最接近真平方根的double值。 因此，您可能會認為我們很清楚。

但是問題在於，N乘以N最多有20個有效數字……這比將數字擴展為double數以進行sqrt調用時所能表示的數字還要多。 （根據Wikipedia的說法， double精度數的精度為15.95個十進制數字。）

最重要的是，編寫的代碼可以做到這一點：

int cand = sc.nextInt();
int aTest = (5 * (cand * cand)) + 4;

對於較大的cand值，容易溢出。 如果您使用long而不是int甚至可能溢出，因為cand值可能高達10 ^ 10。 （一個long整數可以表示最多+9,223,372,036,854,775,807 ...的數字，該數字小於10 ^20。 ）然后我們必須將N ²乘以5。

總而言之，雖然代碼應適用於較小的候選對象，但對於較大的候選對象而言，它可能會在嘗試讀取候選對象時中斷（作為int ），或者由於整數溢出（如long ）而可能給出錯誤的答案。

解決此問題需要重新考慮。 （或者比我做的更深入的分析表明，對於可能的輸入范圍內的任何大N，計算危險都不會導致錯誤的答案。）

Answer 3

根據此鏈接， 當且僅當（5 * n2 + 4）或（5 * n2 – 4）中的一個或兩個為完美平方時 ， 數字才是斐波那契數，因此您基本上可以進行此檢查。

希望這可以幫助 ：）

Answer 4

如果您通過平方運算使用冪運算，請對每個測試用例使用二進制搜索和Fibonacci Q-矩陣求解 O((log n)^2) 。

您的解決方案不起作用，因為它涉及到舍入大量的浮點平方根（可能足夠大，甚至無法容納long ），有時這並不精確。

二進制搜索將像這樣工作：find Q^m ：如果第m個斐波那契數大於您的斐波那契數，則設置right = m ，如果相等，則返回true ，否則設置left = m + 1 。

Answer 5

正確地說，sqrt可以四舍五入。 所以：

• 即使使用long而不是int，它也有18位數字。
• 即使您使用Math.round（），也不能簡單地使用（int）或（long）。 請注意，因此，即使是很小的數字，您的函數也無法正常工作。

雙精度數有14位數字，長整數有18位數字，因此您不能使用正方形，需要20位數字。

BigInteger和BigDecimal沒有sqrt（）函數。

因此，您有以下三種方式：

• 為BigInteger編寫自己的sqrt。
• 檢查發現的不精確double sqrt（）周圍的所有數字是否為真實sqrt。 這意味着還要同時處理數字及其錯誤。 （太恐怖了！）
• 計算所有10 ^ 10以下的斐波那契數，並與之進行比較。

最后一種變體是迄今為止最簡單的一種。

Answer 6

在我看來，for循環沒有任何意義嗎？

當您為我刪除for循環時，該程序將按以下說明工作：

    import java.io.*;
    import java.util.*;

    public class Solution {

     public static void main(String[] args) {

        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int cand = sc.nextInt();

            if(cand < 0){System.out.println("IsNotFibo"); return; }
            int aTest = 5 * cand *cand + 4;
            int bTest = 5 * cand *cand - 4;
            int sqrt1 =  (int)Math.sqrt(aTest);
            int sqrt2 = (int)Math.sqrt(bTest);
            if((sqrt1 * sqrt1 == aTest)||(sqrt2 * sqrt2 == bTest)){
                System.out.println("IsFibo");
            }else{
                System.out.println("IsNotFibo");
            }


    }

}

Answer 7

您只需要測試給定的候選人，是嗎？ for循環完成什么工作？ 循環的結果會使您的測試程序失敗嗎？

另外，代碼中缺少}。 如果未在末尾添加另一個}，它將無法按發布的方式運行，此后，對於以下輸入，它可以正常運行：

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
IsFibo
IsFibo
IsFibo
IsNotFibo
IsFibo
IsNotFibo
IsNotFibo
IsFibo
IsNotFibo
IsNotFibo

Answer 8

考慮到以上所有建議，我編寫了以下通過所有測試用例的內容

import java.io.*;

import java.util.*;

public class Solution {

public static void main(String[] args) {
    Scanner sc = new Scanner(System.in);
    long[] fib = new long[52];
    Set<Long> fibSet = new HashSet<>(52);
    fib[0] = 0L;
    fib[1] = 1L;
    for(int i = 2; i < 52; i++){
        fib[i] = fib[i-1] + fib[i - 2];
        fibSet.add(fib[i]);
    }

    int n = sc.nextInt();
    long cand;

    for(int i = 0; i < n; i++){
        cand = sc.nextLong();
        if(cand < 0){System.out.println("IsNotFibo");continue;}
        if(fibSet.contains(cand)){
            System.out.println("IsFibo");
        }else{
            System.out.println("IsNotFibo");
        }  
     }
   }
 }

我想更加安全，因此我選擇52作為正在考慮的斐波那契數列中的元素數。