在純粹和liftA2方面，什么是適用的仿函數法則？

Question

我正在使用pure和liftA2來配制Applicative（因此(<*>) = liftA2 id成為派生組合子）。

我可以想到一堆候選法則，但我不確定最小集合是什么。

1. f <$> pure x = pure (fx)
2. f <$> liftA2 gxy = liftA2 ((f .) . g) xy
3. liftA2 f (pure x) y = fx <$> y
4. liftA2 fx (pure y) = liftA2 (flip f) (pure y) x
5. liftA2 f (g <$> x) (h <$> y) = liftA2 (\\xy -> f (gx) (hy)) xy
6. ...

Answer 1

基於McBride和Paterson的Monoidal定律 （第7節），我建議對liftA2和pure進行以下定律。

左右身份

liftA2 (\_ y -> y) (pure x) fy       = fy
liftA2 (\x _ -> x) fx       (pure y) = fx

關聯

liftA2 id           (liftA2 (\x y z -> f x y z) fx fy) fz =
liftA2 (flip id) fx (liftA2 (\y z x -> f x y z)    fy  fz)

自然性

liftA2 (\x y -> o (f x) (g y)) fx fy = liftA2 o (fmap f fx) (fmap g fy)

目前尚不清楚這些是否足以涵蓋fmap與Applicative的pure和liftA2之間的關系。 讓我們看看我們是否可以從上述法律證明

fmap f fx = liftA2 id (pure f) fx

我們將從fmap f fx 。 以下所有內容都是等效的。

fmap f fx
liftA2 (\x _ -> x) (fmap f fx) (         pure y )     -- by right identity
liftA2 (\x _ -> x) (fmap f fx) (     id (pure y))     -- id x = x by definition
liftA2 (\x _ -> x) (fmap f fx) (fmap id (pure y))     -- fmap id = id (Functor law)
liftA2 (\x y -> (\x _ -> x) (f x) (id y)) fx (pure y) -- by naturality
liftA2 (\x _ -> f x                     ) fx (pure y) -- apply constant function

在這一點上，我們用liftA2 ， pure和任何y寫了fmap ; fmap完全由上述法律決定。 尚未經證實的證據的其余部分由猶豫不決的作者留下作為堅定讀者的練習。

Answer 2

根據在線書籍， 了解你的Haskell：Functors，Applicative Functors和Monoids ，Appplicative Functor法律如下，但由於格式原因進行了重組; 但是，我正在使這個帖子社區可編輯，因為如果有人可以嵌入派生將是有用的：

    identity]               v = pure id <*> v
homomorphism]      pure (f x) = pure f <*> pure x
 interchange]    u <*> pure y = pure ($ y) <*> u
 composition] u <*> (v <*> w) = pure (.) <*> u <*> v <*> w

注意：

function composition]  (.) = (a->b) -> (b->c) -> (a->c)
application operator]    $ = (a->b) -> a -> b

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