Haskell：關於hackage Control.Applicative文章中應用函子法的描述中的缺陷？：它說Applicative確定了Functor

Question

我想我在Control.Applicative的hackage文章中發現了一個漏洞。 作為應用仿函數法的描述，它說：

 class Functor f => Applicative f where 

帶應用程序的仿函數，提供嵌入純表達式（ pure ）的操作，以及序列計算並組合它們的結果（ <*> ）。

最小完整定義必須包括滿足以下法則的這些函數的實現：

身分

 pure id <*> v = v 

組成

 pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w) 

同態

 pure f <*> pure x = pure (fx) 

互換

 u <*> pure y = pure ($ y) <*> u 

（請注意，這並沒有說明fmap）並且它聲明這些法則確定了Functor實例：

作為這些定律的結果，f的Functor實例將滿足

 fmap fx = pure f <*> x 

我一開始以為這顯然是錯的。 也就是說，我猜一定存在一個類型構造t滿足以下兩個條件：

1. t是實現上述規則的Applicative的實例，並且
2. instance (Functor t)有兩種不同的實現instance (Functor t) （即有兩個不同的函數fmap1, fmap2 :: (a->b) -> (t a->tb) ，滿足函子定律）。

如果（且僅當）上述內容正確，則必須重寫上述語句

f的Functor實例必須滿足

 fmap fx = pure f <*> x 

由於這些法律，這符合Functor法律。

這顯然是正確的， 無論我的猜測是否正確 。

我的問題是 ： 我猜是正確的嗎？ 是否有一個t與所需的條件是什么？

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以下是我自己在試圖回答這個問題時的想法。

如果我們僅僅是數學家對實際的Haskell編程不感興趣 ，我們可以很容易地肯定地回答這個問題。 事實上，

t = Identity
newtype Identity a = Identity {runIdentity :: a}

符合上面的要求1和2（事實上，幾乎任何事情都可以）。 實際上， Identity是一個Functor和Applicative的實例，如Data.Functor.Identity所定義。 （這滿足fmap f = (pure f <*>) 。）為了定義instance (Functor f)另一個“實現” instance (Functor f) ，對於每個類型a ，Take，兩個函數

transf_a, tinv_a :: a -> a

這樣的

tinv_a . transf_a = id

（從理論上講 ，這很容易）。 現在定義

instance (Functor Identity) where
 fmap (f :: a->b) = Identity . transf_b . f . tinv_a . runIdentity

這符合Functor法則，如果有的話，它是與瑣碎的法則不同的實現

x :: a
f :: a -> b

這樣的

f x /= transf_b $ f $ tinv_a x

但是我們是否可以在Haskell中做到這一點並不明顯。 是這樣的：

class (Isom a) where
 transf, tinv :: a -> a

instance (Isom a) where
 transf = id
 tinv = id

specialized instance (Isom Bool) where
 transf = not
 tinv = not

可能在Haskell？

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編輯

我忘了寫一些非常重要的東西。 我認為Control.Applicative是GHC基礎包的一部分，所以我也對我的問題的答案是否隨任何GHC語言擴展而改變感興趣，例如我還不了解的FlexibleInstances或OverlappingInstances 。

Answer 1

Haskell中的任何類型最多只能有一個Functor實例，所以你的猜測是不正確的：因為沒有類型t可以存在兩個不同的instance (Functor t)實現instance (Functor t) 。 見： http ： //article.gmane.org/gmane.comp.lang.haskell.libraries/15384

Answer 2

它是a a -> a類型的屬性，它只有兩個居民，即id :: a -> a （定義為id x = x ）和bottom :: a -> a定義為bottom = error "Infinite loop." 。

如果我們僅將第一種情況局限於“合理”，我們得出一個重要的數學定理，即至少有一個類型為forall a. forall b. (a -> b) -> fa -> fb函數fmap forall a. forall b. (a -> b) -> fa -> fb forall a. forall b. (a -> b) -> fa -> fb forall a. forall b. (a -> b) -> fa -> fb滿足fmap id = id和fmap f . fmap g = fmap (f . g) fmap f . fmap g = fmap (f . g) 。

如果我們不這樣做，那么你是正確的，我們有一個案例，其中fmap = undefined ，另一個fmap = (<*>) . pure fmap = (<*>) . pure 。 但那有點俗氣。