在圓形陣列中找到子序列的第k個最小數

Question

嗨，我正在嘗試從IEEEXtreme 2014解決此問題：

您會得到N個以圓形排列的整數。 有N種方法可以選擇長度為M（M <N）的連續子序列。 對於任何這樣的子序列，我們都可以找到該子序列的“ K”值。 給定子序列的“ K”值是該子序列中第K個最小的數字。 給定N的數組，找到所有可能的子序列中最小的K值。 例如N = 5 M = 3 K = 2且數組1 5 3 4 2給出結果2。

我的方法是，首先創建一個排序數組列表，將新輸入插入正確的位置。 我將前M個整數添加到列表中。 記錄第K個最小值。 然后，我繼續刪除最舊的整數，並將下一個整數添加到列表中，並將新的第K個值與舊的進行比較。 這是我的排序數組列表。

class SortedArrayList extends ArrayList {  
    public void insertSorted(int value) {        
        for (int i = size()-1; i >= 0; i--){
            if( value - (Integer)get(i)>=0){            
                    add(i+1,new Integer(value));
                    return;
            }
        }
        add(0,new Integer(value));
    }
}

我認為這種蠻力方法效率不高，但尚無法提出任何想法。 您知道對此有更好的解決方案嗎？ 謝謝。

Answer 1

這是一個更有效的解決方案：

1. 讓我們擺脫循環性，使事情變得更簡單。 我們可以通過將給定數組附加到自身來做到這一點。

2. 我們可以假設輸入中的所有數字都是唯一的。 如果不是這種情況，我們可以使用一對(element, position)代替每個元素。

3. 讓我們對給定的數組進行排序。 現在，我們將對答案使用二進制搜索（即，排序后的全局數組中所有子數組中第k個最小元素的位置）。

4. 如何檢查固定候選x至少等於第k-th最小數字？ 讓我們用1標記小於或等於x的數字的所有位置，用0標記其余的位置。 現在我們只需要檢查是否存在長度為M的子數組，其中至少包含k個子數組。 我們可以使用滾動總和在線性時間內做到這一點。

時間復雜度為： O(N log N)用於對輸入進行排序+ O(N log N)用於在答案上進行二進制搜索（存在O(log N)檢查，並且每個檢查都在線性時間內完成，如4中所述）。 因此，總時間復雜度為O(N log N) 。

PS我可以想到其他幾種具有相同時間復雜度的解決方案，但是這似乎是最容易實現的解決方案（它不需要任何自定義數據結構）。

Answer 2

對於圓形陣列問題，更優雅的解決方案是簡單地使用模。 因此，如果您只是在尋找一種模擬圓形陣列的解決方案，我建議您這樣做：

int n = somevalue;//the startingpoint of the subsequence
int m = someothervalue;//the index in the subsequence

int absolute_index = (n + m) % N;

其中N是序列中元素的總數。

進一步提高效率的下一步將是存儲第k個值的索引。 這樣，您只需要每第M個步驟（最壞的情況）計算一個新的K值，然后將其與其他步驟中的一個新值進行比較即可。 但是我會留給你;）