如何計算冒泡排序時間復雜度

Question

我試圖理解數據結構和不同的算法，然后我對測量冒泡排序時間復雜度感到困惑。

for (c = 0; c < ( n - 1 ); c++) {
  for (d = 0; d < n - c - 1; d++) {
    if (array[d] > array[d+1]) /* For descending order use < */
    {
      swap       = array[d];
      array[d]   = array[d+1];
      array[d+1] = swap;
    }
  }
}

現在每個大 O 都告訴最佳情況 O(n)、平均情況 (n2) 和最壞情況 (n2)。但是當我看到代碼時，發現在第一階段內循環運行 n 次，然后在第二階段 n - 1 和 n - 2 等。 這意味着在每次迭代中它的價值都會下降。 例如，如果我有 a[] = {4, 2, 9, 5, 3, 6, 11} 所以比較的總數將是 -

1st Phase - 7 time
2nd phase - 6 time
3rd Phase - 5 time
4th Phase - 4 time
5th Phase - 3 time
6th Phase - 2 time
7th Phase - 1 time

因此，當我計算時間時，它看起來像 = (7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) + 7 = 35，但根據文檔，最壞的時間復雜度是 n2。

所以有人可以告訴我如何計算正確的值。

Answer 1

讓我們來看看 Big O for Bubble Sort 的案例

情況 1）O(n)（最佳情況）如果數組已經排序，就會出現這種時間復雜度，這意味着沒有發生交換並且只有 n 個元素的 1 次迭代

情況 2) O(n^2)（最壞情況）最壞情況是數組已經排序但按降序排列。 這意味着在第一次迭代中，它必須查看 n 個元素，然后它會查看 n - 1 個元素（因為最大的整數在末尾），依此類推，直到發生 1 次比較。 Big-O = n + n - 1 + n - 2 ... + 1 = (n*(n + 1))/2 = O(n^2)

在您的示例中，它可能不會檢查每個階段中的這么多元素，因為數組不是按降序排列的。

Answer 2

所以你已經注意到完成的比較總數是 (n - 1) + ... + 2 + 1。這個總和等於 n * (n - 1) / 2（參見三角形數），它等於0.5 n^2 - 0.5 n 顯然是 O(n^2)。

Answer 3

它在兩個元素之間進行比較。 所以在第一階段 - n-1 比較。 即，6 第二階段 - n-2 比較。 即，5 依此類推直到 1。因此，sum = n(n-1)/2 即 O(n^2)。

如果有任何錯誤，您可以更正......

Answer 4

O(n^2) = n(n-1)/2是正確的。

如上例中的 5 個元素。

5(5-1)/2 == 10.

5(5+1)/2 != 10. 

Answer 5

在這里解釋最壞的情況：

elements = raw_input("enter comma separated elements : ")
elements = elements.split(',')
elements = map(int, elements)
length = len(elements)

for i in xrange(length - 1):
    print "outer pass : ", i
   for j in xrange(length - i - 1):
       print "inner pass : ", j
       if elements[j] > elements[j + 1]:
           elements[j + 1], elements[j] = elements[j], elements[j + 1]
       print "elements : ", elements
print elements

輸出 ：

輸入逗號分隔的元素：5,4,3,2,1

外傳：0

內部通行證：0

元素：[4, 5, 3, 2, 1]

內傳：1

元素：[4, 3, 5, 2, 1]

內傳：2

元素：[4, 3, 2, 5, 1]

內傳：3

元素：[4, 3, 2, 1, 5]

外傳：1

內部通行證：0

元素：[3, 4, 2, 1, 5]

內傳：1

元素：[3, 2, 4, 1, 5]

內傳：2

元素：[3, 2, 1, 4, 5]

外傳：2

內部通行證：0

元素：[2, 3, 1, 4, 5]

內傳：1

元素：[2, 1, 3, 4, 5]

外傳：3

內部通行證：0

元素：[1, 2, 3, 4, 5]

[1, 2, 3, 4, 5]

因此第一次迭代掃描所有 n 個元素，它將在下一次迭代中掃描 n - 1 個元素。 對於所有元素，依此類推。

n + n - 1 + n - 2 ... + 1 = (n * (n + 1))/2 = O(n^2)

Answer 6

: This time complexity can occur if the array is already sorted.：如果數組已經排序，就會出現這種時間復雜度。 這意味着不會發生交換，並且只有 n 個元素的 1 次迭代將在那里。

所以時間復雜度是O(n) 。

最壞情況：如果數組已經排序但是降序排列，則可能會出現這種時間復雜度。

在第一次迭代中，比較次數 = n-1
在第二次迭代中，比較次數 = n-2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………
在第(n-2) 次迭代中，比較次數 = 2
在第(n-1) 次迭代中，比較次數 = 1

對於 n 個元素，總迭代次數 = n-1
比較總數S = (n-1)+ (n-2) +........ + 2 + 1
我們也可以這樣寫S = 1 + 2 + ........+(n-2) + (n-1)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ...................... 2S = n + n + ...... + n + n ... . [添加兩行]
2S = n(n-1) ..... [作為總迭代次數 = n-1]
S = n(n-1)/2
在多項式函數中，n 的最高階被認為是時間復雜度。
所以，時間復雜度是O(n^2)

Answer 7

對於 n 個數字，完成的比較總數將為 (n - 1) + ... + 2 + 1。該總和等於 (n-1) * n / 2（參見三角形數），等於 0.5 n^2 - 0.5 n 即 O(n^2)