關於您計算它的方式，冒泡排序算法的時間復雜度如何導致 O(n^2)？

Question

我明白為什么冒泡排序是 O(n^2)。

然而，在許多解釋中，我看到了這樣的事情：

(n-1) + (n-2) + (n-3) + ..... + 3 + 2 + 1
Sum = n(n-1)/2

您如何從這部分計算Sum ：

(n-1) + (n-2) + (n-3) + ..... + 3 + 2 + 1

任何人都可以幫忙嗎？

Answer 1

這是訣竅：

If n is even:
  n + (n-1) + (n-2) + … + 3 + 2 + 1
= [n + 1] + [(n-1) + 2] + [(n-2) + 3] + … + [(n - (n/2 - 1)) + n/2]
= (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1)
= n(n+1)/2

If n is odd:
  n + (n-1) + (n-2) + … + 3 + 2 + 1
= [n + 1] + [(n-1) + 2] + [(n-2) + 3] + … + [(n - (n-1)/2 + 1) + (n-1)/2] + (n-1)/2 + 1
= (n+1) + (n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n-1)/2 + 1
= (n+1)(n-1)/2 + (n-1)/2 + 1
= (n^2 - 1 + n - 1 + 2)/2
= (n^2 + n)/2
= n(n+1)/2

對於您的情況，由於您最多計數 n-1 而不是 n，因此請在此公式中將 n 替換為 (n-1) 並簡化：

   x(x+1)/2, x = (n-1)
=> (n-1)((n-1)+1)/2 
 = (n-1)(n)/2 
 = n(n-1)/2

Answer 2

無需推導方程即可理解的最簡單的“證明”是將復雜性想象為面積：

所以如果我們有序列：

n+(n-1)+(n-2)...

我們可以從中創建一個形狀......讓我們考慮n=5 ：

n     5     *****
n-1   4     ****
n-2   3     ***
n-3   2     **
n-4   1     *

現在，當您查看起點時，它們形成了一個具有 2 個等長邊的直角三角形......這是nxn正方形的一半，因此面積是：

area = ~ n.n / 2 = (n^2)/2

在復雜性中，常數是沒有意義的，所以復雜性是：

O(n^2)