該算法的復雜度如何為 O(n^2)？

Question

設 v 是樹 T 的一個節點。節點 v 的深度可以定義如下：

• 如果 v 是根，則 v 的深度為 1。
• 否則，v 的深度是 1 加上 v 的父級的深度。

基於上述定義，遞歸算法深度，如下面的算法所示，通過在 v 的父節點上遞歸調用自身，並將返回的值加 1 來計算 Tree 的節點 v 的深度。

算法depth(T, y) ：

• 第 1 步：如果T.isRoot(v) ，則返回1
• 第 2 步：否則，返回1 + depth(T, T. parent(v))

樹 T 的高度等於 T 的外部節點的最大深度。雖然這個定義是正確的，但它不會導致有效的算法。 事實上，如果我們將上述深度尋找算法應用於樹 T 中的每個節點，我們將推導出一個 O(n ² ) 時間算法來計算 T 的高度。

根據上面的說法，它怎么可能是 O(n ² )？ 如果我們在每個外部節點上嘗試這個算法，那么它需要 O(n)，並且要找到最大值需要 O(n)。 所以總復雜度應該是O(n)+O(n) = O(2n)==O(n)，對吧？

Answer 1

該算法的最壞情況是不平衡的樹。 例如，如下圖所示的一棵樹：

上面的樹有 5 個外部節點和 5 個內部節點，所以正好有一半的節點是外部節點。 從 A 開始，有一個父級。 從 B 開始，有 2 個，依此類推。所以訪問的父母（ P ）的總數是1+2+3+...+(n/2) 。

使用自然數和的公式，我們有P = (n/2)(n/2 + 1)/2 = (n^2 + 2n)/8 。 忽略常數因子 (8) 和次要項 (2n)，我們看到P為 O(n^2)。

Answer 2

如果我們在每個外部節點上嘗試這個算法，那么它需要 O(n)

這是不正確的。 您將應用該算法n次，其中每次調用需要O(n)時間，總共需要O(n^2)時間。

這當然是假設結果沒有緩存/記憶（所以我們做了很多重復的工作）。 如果有，那么總共確實是O(n) 。

Answer 3

在漸近符號中， n^2可能意味着，對於每個節點，您訪問的節點數量可變，最大n或n - 1 。 讓我們考慮一下：

當您為節點1調用遞歸 function 時，它會立即返回，但是當您為節點5調用它時，您需要重新計算所有節點的深度，直到節點 1 ，這意味着您訪問了所有其他節點，因為您沒有使用記憶. 因此，對於您正在訪問的每個節點 [1 到 n-1] 個節點。