計算長度為K的DAG中的路徑數

Question

我有一個具有2 ^ N個節點的DAG，其值從0到2 ^ N-1。 如果x <y並且x（xor）y = 2 ^ p，則x到y之間有邊，x和y是節點值，並且pa是非負整數。 由於N可以高達100000，因此生成圖形並進行計數將需要大量的計算時間。 有什么方法可以計算具有一定長度K（K是兩個節點之間的邊數）的路徑，換句話說，是否有某種方程式可以用於這種計數？ 提前致謝

Answer 1

邁克爾（Michael）有一些很好的見解，但我不確定我是否會遵循他的全部論點。 這是我的解決方案。

假設N = 4，K = 2。 因此，節點的范圍從0（0000 ₂ ）到15（1111 ₂ ）。

現在讓我們考慮節點2（0010 ₂ ）。 因為2 <3且xor（2,3）= 1 = 2 ^0，所以存在2到3（0011 ₂ ）的邊。 還有一個從2到6的邊，因為2 <6並且xor（2,6）= 4 = 2 ² 。 從2到10有一條邊，因為2 <10且xor（2,10）= 8 = 2 ³ 。

概括地說：對於任何x，請考慮x中的所有0位。 通過將0位中的任何一位翻轉為1，您將得到一個大於y且與x相差一位的數字y。 所以從x到y有一條邊。

x中的1位數通常稱為x的填充計數 。 我將使用pop（x）表示x的總數。

我們正在處理N位數字（當我們包含前導零時），因此x中的0位數字是N-pop（x）。

讓我們使用術語“ j -path”來表示長度為j的路徑。 我們要計算K路徑的數量。

每個節點x都有N-pop（x）個輸出邊緣。 這些邊緣中的每一個都是1路徑。

讓我們考慮節點5（0101 ₂ ）。 節點5的邊緣為7（0111 ₂ ），節點7的邊緣為15（1111 ₂ ）。 節點5的邊緣為13（1101 ₂ ），節點13的邊緣為15（1111 ₂ ）。 因此，節點5外有兩個2路徑：5-7-15和5-13-15。

接下來，讓我們再次查看節點2（0010 ₂ ）。 節點2的邊為3（0011 ₂ ），節點的邊為7（0111 ₂ ）和11（1011 ₂ ）。 節點2還具有節點6（0110 ₂ ）的邊緣，節點6具有7（0111 ₂ ）和14（1110 ₂ ）的邊緣。 最后，節點2的邊緣為節點10（1010 ₂ ），節點10的邊緣為11（1011 ₂ ）和14（1110 ₂ ）。 節點2總共有6條2路徑：2-3-7、2-3-11、2-6-7、2-6-14、2-10-11和2-10-14 。

模式是，對於z位設置為零的任何節點x，其中z≥K，x中都有一些K路徑。 要從x中找到K路徑，請選擇零位中的任何K。 將這些位一一翻轉為您提供路徑。 您可以按任意順序翻轉位。 每個訂單給出了不同的路徑。

當您要從一組n個項目中以特定順序選擇k個項目時，稱為無替換的有序樣本，並且有n個！ /（nk）！ 方法。 通常將其寫為_n P _k ，但在此處鍵入P（n，k）會更容易。

因此，正好具有2個零位的節點的P（2,2）= 2！ /（2-2）！ = 2條2條路徑。 （請注意，0！=1。）正好具有3個零位的節點的P（3,2）= 3 !！ / 1！ = 6條2條路徑。 正好有4個零位的節點的P（4,2）= 4！ / 2！ = 12條2條路徑。 （由於我在示例中使用N = 4，因此只有一個節點具有正好4個零位，即節點0。）

但是然后我們需要知道，有多少個節點正好有2個零位？ 好吧，當有n個商品可供選擇時，我們想選擇k個商品，而我們並不關心所選商品的順序，那就是無替換的無序樣本，而有n個商品！ /（k！（nk）！）的方法。 這稱為“ n select k”，通常以無法在堆棧溢出時重現的方式編寫，因此將其寫為C（n，k）。

對於我們的N = 4的示例，有C（4,2）= 6個節點，其中2位恰好設置為零。 這些節點是3（0011 ₂ ），5（0101 ₂ ），6（0110 ₂ ），9（1001 ₂ ），10（1010 ₂ ）和12（1100 ₂ ）。 這些節點中的每個節點都具有P（2,2）2條路徑，因此這意味着C（4,2）* P（2,2）= 6 * 2 = 12個節點中的2條路徑完全相同兩個0位。

然后有C（4,3）= 4個節點，其中恰好3位設置為零。 這些節點是1（0001 ₂ ），2（0010 ₂ ），4（0100 ₂ ）和8（1000 ₂ ）。 這些節點中的每個節點都具有P（3,2）2條路徑，因此，在正好三個0的節點中有C（4,3）* P（3,2）= 4 * 6 = 24條2條路徑位。

最后，存在C（4,4）= 1個節點，其中恰好4位設置為零。 該節點具有P（4,2）= 12個2路徑。

因此，當N = 4時2路徑的總數為C（4,2）* P（2,2）+ C（4,3）* P（3,2）+ C（4,4）* P（ 4,2）= 12 + 24 + 12 = 48。

對於一般的N和K（其中K≤N），K路徑的數目是K≤z≤N時C（N，z）* P（z，K）的總和。

我可以這樣輸入Wolfram Alpha（或Mathematica）：

Sum[n!/(z! (n - z)!) z!/(z - k)!, {z, k, n}]

並將其簡化為 ：

2^(n-k) n! / (n-k)!

Answer 2

陳述的問題似乎與此等效：

考慮所有可能的長度為N的二進制字符串的集合。考慮將第i位從0翻轉到1的操作Fi。對於字符串x＆y表示| x |。 設置位數x

很容易看出，只要且僅當（x，y）是K可容許的，一個人才能通過一系列完全K的操作Fi從x獲得y。 而且，如果我們固定x並對所有y求和，使得（x，y）是K可容許的，則得到（N- | x |）！

最后，我們需要用| x | <=（NK）對所有x求和。 對於| x |的給定選擇 我們有N！/（N- | x |）！| x |！ x的可能選擇。 結合以上內容，即可得到給定的| x |。 有N！/ | x |！ 可能的路徑。

表示| x | = M，M從0到NK，而您的答案是N！/ M！的所有M之和。