尋找涉及指數和除數涉及大數的余數mod

Question

我需要一個快速算法來評估以下內容

((a^n-1)/(a-1)) % p

a和n幾乎相等但小於10 ^ 6而p是固定的素數（假設p=1000003 ）。 我需要在1秒內計算出來。 我正在使用python。 Wolfram Mathematica 立即計算它 。 使用以下代碼需要35.2170000076秒

print (((10**6)**(10**6)-1)/((10**6)-1))%1000003

如果那個分母a-1不存在，我可以將權力分組到更小的順序並使用關系a*b (mod c) = (a (mod c) * b (mod c)) (mod c)但是分母是當下。

如何用快速算法評估這個？ 沒有numpy / scipy可用。

更新::這是我提出的最終代碼

def exp_div_mod(a, n, p):
    r = pow(a, n, p*(a-1)) - 1
    r = r - 1 if r == -1 else r
    return r/(a-1)

Answer 1

（（（a ** n） - 1）/（a-1））％p

可以改寫為

（（（a ** n） - 1）％（（a-1）* p））/（a-1）

這部分：

（（（a ** n） - 1）％（（a-1）* p））

可以通過計算：

（（a ** n）％（（a-1）* p））

然后調整為-1。

通過（（a-1）* p）將a增加到第n次冪和mod。 這可以使用Python pow（）函數完成。 然后調整-1並除以a-1。

使用pow（）函數並傳遞模數值比計算完整指數然后取模數更快，因為模數可以應用於計算的每個階段的部分乘積，這會使值停止變得太大（ 10 ⁶的功率10 ⁶有6百萬個十進制數字，每一步都應用模數值，從不必大於模數的大小 - 在本例中約為13位數）。

碼：

def exp_div_mod(a, n, p):
    m = p * (a - 1)
    return ((pow(a, n, m) - 1) % m) // (a - 1);

print exp_div_mod((10**6), (10**6), 1000003)

輸出：

444446

注意：此方法僅在a，n和p為整數時有效。

Answer 2

（ 一個 ^{N-1）/（A-1）}是從i = 0 到 ^I的N-1的總和。

計算后者模p是直接的，基於以下內容：

如果n > 0則令F （ a ， n ）為Σ（ i = 0 ... n-1 ）{ a ⁱ }，否則為0。

現在：

1. F （ a ， n ）= a × F （ a ， n -1）+ 1

2. ) = ( a +1)× F ( a ² ,n) F （ a ，2 ）=（ a +1）× F （ a ² ，n）

第二個身份是分而治之的遞歸。

由於這兩者都只涉及加法和乘法，我們可以通過分布模運算來計算它們mod p而不需要大於a × p的整數類型。 （見下面的代碼。）

只需第一次遞歸，我們就可以編寫迭代解決方案：

def sum_of_powers(a, n, p):
  sum = 0
  for i in range(n): sum = (a * sum + 1) % p
  return sum

使用分而治之的遞歸，我們得到的東西並不復雜得多：

def sum_of_powers(a, n, p):
  if n % 2 == 1:
    return (a * sum_of_powers(a, n-1, p) + 1) % p
  elif n > 0:
    return ((a + 1) * sum_of_powers(a * a % p, n // 2, p)) % p
  else:
    return 0

第一個解決方案在不到一秒的時間內返回，n == 10 ⁶ 。 第二個即時返回，即使n大到10 ⁹ 。

Answer 3

您可以乘以p - 1的模逆 。 由於費馬的小定理，對於所有0 <x <p ，你有x ^p-2 ·x≡xp ^- 1≡1（mod p） ，因此你甚至不需要擴展的Euclid來計算逆，只需要pow標准Python的功能：

(pow(a, n, p) - 1) * pow(a - 1, p - 2, p) % p

該算法具有時間復雜度𝒪（log p），因為使用了square-and-multiply 。