遞歸可枚舉語言的閉包屬性

Question

請考慮以下問題：

令L1和L2為兩種語言。 證明或反駁在

1. 差異(L1 - L2)

2. product (L1 x L2) （嘗試在已知L1單詞結尾的情況下以及不知道L1單詞的情況下證明產品。

在此，封閉性意味着如果L1和L2可以被旅行機接受，那么(L1 - L2)或(L1 x L2)

筆記

我能夠為聯合和補全（聯合：封閉；補全：未封閉）找到解決方案，但不能為上述（差或乘積）解決。

Answer 1

1）RE在差異下沒有關閉。

證明：假設是。

令Sigma為任意RE語言L的字母。 Sigma^*是RE（TM僅檢查輸入字符串是否僅包含來自Sigma符號或為空）。 如果RE將在差值下閉合，則特別是Sigma^* - L將是RE。 但是，任何RE語言都將是遞歸的（可確定的）。 但是，存在不確定的RE語言（請參閱halting問題）。

2）直角乘積關閉RE

證明草圖：首先假設oracle提供了將輸入字符串正確划分為L1 ， L2單詞的功能。 在這種情況下，請依次運行TM T1 ， T2來檢查L1 ， L2收容，並依次檢查其輸入。 如果兩個TM都終止，則此設置終止。

接下來，假設沒有預言。 對於任何給定的輸入字符串w ，都有length(w)+1可能的分區。 在各個分區的輸入上，並行運行串聯的TM T1 ， T2 length(w)+1副本，每個分區一個。 如果至少一個克隆的TM級聯終止，則此設置終止，該終止等於輸入字符串部分是L1 ， L2和resp的成員。