IEEE754浮點減法精度丟失

Question

這是減法

第一個數字

Decimal       3.0000002
Hexadecimal   0x4040001
Binary: Sign[0], Exponent[1000_0000], Mantissa[100_0000_0000_0000_0000_0001]

減去第二個數字：

Decimal 3.000000
Hexadecimal 0x4040000
Binary: Sign[0], Exponent[1000_0000], Mantissa[100_0000_0000_0000_0000_0000]

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在這種情況下，指數已經是相同的，我們只需要減去尾數即可。 我們知道在IEEE754中，尾數前面有一個隱藏位1。 因此，結果尾數應為：

Mantissa_1[1100_0000_0000_0000_0000_0001] - Mantissa_2[1100_0000_0000_0000_0000_0000]

等於

Mantissa_Rst = [0000_0000_0000_0000_0000_0001]

但是此數字未歸一化，因為第一個隱藏位不為1。因此，我們將Mantissa_Rst右移23次，並且指數同時減去23。

然后我們有結果值

Hexadecimal 0x4040000

Binary: Sign[0], Exponent[0110_1000], Mantissa[000_0000_0000_0000_0000_0000].

總共32位，無需舍入。

請注意，在尾數區域中仍存在一個隱藏的1。

如果我的計算是正確的，則將結果轉換為十進制數為0.00000023841858，與實際結果0.0000002相比，我仍然認為不是很精確。

所以問題是，我的計算錯誤嗎？ 還是實際上這是真實情況，並且一直在計算機中發生？

Answer 1

誤差已經從您的輸入開始。 3.0000002是分母中有一個素數為5的分數，因此它在基數2中的“十進制”展開是周期性的。 沒有數量的尾數就足以准確地表示它。 您提供的浮點數實際上具有值3.0000002384185791015625 （這是正確的）。 是的，這種情況一直發生。

但是不要失望！ 以10為底的問題相同（例如1/3 ）。 沒問題 好吧，這是針對某些人的，但幸運的是，還有其他一些數字類型可以滿足他們的需求。 浮點數具有很多優點，對於許多應用程序來說，略微的舍入誤差是無關緊要的，例如，即使您的輸入甚至不能完全精確地測量您感興趣的內容（許多科學計算和仿真）。 還請記住，也存在64位浮點數。 此外，錯誤是有界的：使用最佳舍入法，您的結果將在從無限精度結果中刪除的最后位置的 0.5個單位內。 以您的示例為單位的32位浮點數，大約為2^-25或3 * 10 ^ -8。 當您執行一些必須舍入的附加操作時，情況將變得越來越糟，但是通過仔細的數值分析和正確的算法 ，您可以從中獲得很多好處。

Answer 2

只要x / 2≤y≤2x，則計算x-y就是精確的 ，這意味着沒有舍入誤差。 在您的示例中也是如此。

您只是錯誤地假設您的浮點數可能等於3.0000002。 你不能 “ float”類型只能表示小於2 ^ 24的整數乘以2的冪。 3.0000002不是這樣的數字，因此將其舍入為最接近於3.00000023841858的浮點數。 減3精確計算出差值，並得出接近0.00000023841858的結果。