線性索引、邏輯索引等等

Question

我們習慣了 Matlab 中不同形式的索引：

• 標准（沿每個維度使用整數），
• 邏輯（使用邏輯值），
• 線性（使用單個索引遍歷多維數組）。

乍一看，這些形式似乎是排他的：索引要么是標准的，要么是邏輯的，要么是線性的。 然而，有時這些形式中的幾種似乎是混合的。 例如，

>> A = magic(3)
A =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2
>> A(A>5)
ans =
     8
     9
     6
     7

這是邏輯索引，對吧？ 但是它也有一些線性索引的特性，因為返回的是一個列向量。 實際上，邏輯索引A>5與線性索引find(A>5)具有相同的效果。

作為第二個例子，考慮

>> A = magic(3)
A =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2
>> A(1:2, [true false true])
ans =
     8     6
     3     7

在此表達式中，標准（整數值）索引用於第一個坐標，邏輯索引用於第二個坐標。

這些示例（以及實踐中出現的更復雜的示例）提出了以下問題：

• Matlab 中有哪些類型的索引？
• 它們如何結合？
• 應該如何稱呼它們？

Answer 1

在下文中，我使用我認為或多或少符合標准 Matlab 實踐的術語。 然而，在某些情況下，我不得不編造一個名字，因為我不知道現有的名字。 請讓我知道是否有比我使用的更多的標准名稱。

這個答案試圖闡明不同類型的索引以及它們如何組合。 另一個問題是如何將輸出數組的形狀（ size ）確定為索引變量形狀的函數。 Loren Shure 的Essence of indexing是一篇關於此的好文章。

下面的說明中重在數值陣列的索引，但它可以被（分別為單元陣列或逗號分隔的列表，）施加到單元陣列與任一括號或大括號索引，與輸出類型的明顯變化。 這將在最后簡要討論。

數值數組中的索引類型

可以考慮以下兩個屬性對索引進行分類。

1. 根據每個索引變量所指的維數，索引可以是多維的，也可以是線性的。 但這只是兩種極端情況。 存在一種中間情況，可以稱為部分線性索引：

   • 純多維索引為數組的每個維度指定一個索引變量。 個別索引有時在 Matlab 文檔中被稱為下標（參見例如sub2ind ）。
   • 純線性索引指定了一個索引變量，它在所有維度上遍歷數組（這可以被視為所有維度都合並為一個）。 正如我們所知，遍歷首先是沿着列，然后是行，然后是第三維度的切片，等等（所謂的列主序）。
   • 部分線性索引：給定一個具有m+n維的數組， n>=2 ，可以為前m維度指定m索引變量（因此在這些維度中使用多維索引），並為最后n維度指定一個索引變量，即僅解釋為這些維度的線性索引（最后n維度合並為一個）。

2. 根據索引值的類型，每個索引變量可以是整數值或邏輯值：

   • 如果索引變量包含正整數，則它是整數值；
   • 如果索引變量包含邏輯值，這是合乎邏輯的。

分類標准 1 和 2 是獨立的。 從標准 1 的角度來看，指數的類別與其根據標准 2 的類別沒有關系。所有組合都是可能的。

因此，根據上述分類，有 6 種基本的索引類型。 為了澄清，以下是每個示例。 所有示例都使用數組A = cat(3, magic(3), 9+magic(3)) ，即，

A(:,:,1) =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2
A(:,:,2) =
    17    10    15
    12    14    16
    13    18    11

1. 多維整數值：

    >> A([1 2], 2, 2) ans = 10 14

2. 線性，整數值：

    >> A([2 5:7]) ans = 3 5 9 6

3. 部分線性，整數值：

    >> A([1 2], 2:4) ans = 1 6 17 5 7 12

4. 多維、邏輯：

    >> A([true true false], [false true false], [false true]) ans = 10 14

   有趣的是，邏輯值的數量可能比索引所指維度的大小更小，甚至更大：

    >> A([true true], [false true false false], [false true]) ans = 10 14

   缺失值被解釋為false ，剩余值必須為false否則會發生錯誤。 例如，請參閱Mathworks 的此頁面或Jonas 的此答案。

5. 線性，邏輯：

    >> A([false true false false true true true]) ans = 3 5 9 6

   （請注意，索引向量中遺漏了 11 個尾隨false值。）

6. 部分線性，邏輯：

    >> A([true true false], [false true true true false false]) ans = 1 6 17 5 7 12

在多維或部分線性索引中，其中有多個索引變量，每個變量都可以獨立為整數值或邏輯值。 這就產生了不同的混合類型。 例如：

7. 多維，邏輯/整數值：

    >> A([true false true], [false true true], 2) ans = 10 15 18 11

8. 部分線性，整數值/邏輯：

    >> A([1 2], [true false true false true false]) ans = 8 6 10 3 7 14

如果被索引的數組是一個稀疏矩陣，上述所有內容仍然適用，除了矩陣不存在部分線性索引； 當然結果也是稀疏的。

元胞數組的索引

為數值數組描述的所有索引類型都可以應用於元胞數組，但有一個額外的考慮。 元胞數組可以用圓括號或花括號索引。 在第一種情況下，索引的結果是一個元胞數組。 第二個是逗號分隔的單元格內容列表。

例如，假設將前面示例中使用的數值數組轉換為元胞數組C = num2cell(A) ，即，

C(:,:,1) = 
    [8]    [1]    [6]
    [3]    [5]    [7]
    [4]    [9]    [2]
C(:,:,2) = 
    [17]    [10]    [15]
    [12]    [14]    [16]
    [13]    [18]    [11]

然后上面示例 8 中使用的索引將產生單元格數組

>> C([1 2], [true false true false true false])
ans = 
    [8]    [6]    [10]
    [3]    [7]    [14]

而使用花括號會產生逗號分隔的列表

>> C{[1 2], [true false true false true false]}
ans =
     8
ans =
     3
ans =
     6
ans =
     7
ans =
    10
ans =
    14 

外賣留言 / TL;DR

邏輯索引和線性索引並不是唯一的索引類型。 相反，它們是索引的兩個獨立特征。 “邏輯”是指索引值的類型，“線性”表示多個維度被折疊並索引為一個。 這兩個功能可以同時發生。