如何確定浮點計算中的誤差？

Question

我有以下要在浮點運算中實現的方程式：

等式：sqrt（（ab）^ 2 +（cd）^ 2 +（ef）^ 2）

我想知道如何確定尾數的寬度如何影響結果的准確性？ 這如何影響結果的准確性？ 我想知道確定這個的正確數學方法是什么？

例如，如果我執行以下操作，那么在每個步驟之后，精度將如何受到影響？

步驟如下：

步驟1 ，在32位單精度浮點中執行以下計算：x =（ab），y =（cd），z =（ef）

步驟2 ，將三個結果四舍五入為16位尾數（不包括隱藏位），

步驟3 ，執行以下平方運算：x2 = x ^ 2，y2 = y ^ 2，z2 = z ^ 2

步驟4 ，將x2，y2和z2舍入為10位尾數（小數點后）。

步驟5 ，將值相加：w = x2 + y2 = z2

步驟6 ，將結果舍入為16位

步驟7，取平方根：sqrt（w）

步驟8 ，舍入到20個尾數位（不包括尾數）。

Answer 1

有多種表示浮點數錯誤的方法。 存在相對誤差（a *（1 +ε）），略有不同的ULP誤差（a + ulp（a）*ε）和相對誤差。 它們每個都可以用於分析錯誤，但是都有缺點。 為了獲得合理的結果，您通常必須考慮到浮點計算內部恰好發生了什么。 恐怕“正確的數學方法”需要大量工作，因此，我將為您提供以下內容。

簡化的基於ULP的分析

以下分析是很粗略的，但是對於您最終會遇到多少錯誤，它的確給出了很好的“感覺”。 僅將這些作為示例。

（ab）運算本身最多會產生0.5 ULP誤差（如果四舍五入RNE）。 與輸入相比，此操作的舍入誤差可能很小，但是如果輸入非常相似並且已經包含誤差，則除了噪音之外，您將一無所有！

（a ^ 2）此運算不僅會乘以輸入，還會乘以輸入誤差。 如果處理相對誤差，則意味着至少將誤差乘以另一個尾數。 有趣的是，乘法器中幾乎沒有標准化步驟，這意味着如果乘法結果越過兩個邊界的冪，則相對誤差將減半。 最壞的情況是輸入乘以正好低於該乘積的輸入，例如，兩個輸入幾乎都等於sqrt（2）。 在這種情況下，輸入誤差乘以2 *ε* sqrt（2）。 如果最終最終舍入誤差為0.5 ULP，則總誤差約為2 ULP。

加正數最糟糕的情況是輸入錯誤加在一起，加上另一個舍入錯誤。 我們現在處於3 * 2 + 0.5 = 6.5 ULP。

sqrt sqrt最壞的情況是輸入接近於1.0。 該錯誤大致會通過，再加上一個舍入錯誤。 現在是7 ULP。

中間舍入步驟插入中間舍入步驟將需要更多的工作。 您可以將它們建模為與四舍五入后的位數有關的錯誤。 例如，使用RNE從23位尾數變為10位尾數會相對於23位尾數引入額外的2 ^（13-2）ULP錯誤，或者對於新尾數引入0.5 ULP（您必須縮小其他錯誤如果您想與此一起工作）。

我將留給您計算詳細示例的錯誤，但是正如注釋者所指出的那樣，四舍五入到10位尾數將占主導地位，最終結果將精確到大約8位尾數。