如何确定浮点计算中的误差？

Question

我有以下要在浮点运算中实现的方程式：

等式：sqrt（（ab）^ 2 +（cd）^ 2 +（ef）^ 2）

我想知道如何确定尾数的宽度如何影响结果的准确性？ 这如何影响结果的准确性？ 我想知道确定这个的正确数学方法是什么？

例如，如果我执行以下操作，那么在每个步骤之后，精度将如何受到影响？

步骤如下：

步骤1 ，在32位单精度浮点中执行以下计算：x =（ab），y =（cd），z =（ef）

步骤2 ，将三个结果四舍五入为16位尾数（不包括隐藏位），

步骤3 ，执行以下平方运算：x2 = x ^ 2，y2 = y ^ 2，z2 = z ^ 2

步骤4 ，将x2，y2和z2舍入为10位尾数（小数点后）。

步骤5 ，将值相加：w = x2 + y2 = z2

步骤6 ，将结果舍入为16位

步骤7，取平方根：sqrt（w）

步骤8 ，舍入到20个尾数位（不包括尾数）。

Answer 1

有多种表示浮点数错误的方法。 存在相对误差（a *（1 +ε）），略有不同的ULP误差（a + ulp（a）*ε）和相对误差。 它们每个都可以用于分析错误，但是都有缺点。 为了获得合理的结果，您通常必须考虑到浮点计算内部恰好发生了什么。 恐怕“正确的数学方法”需要大量工作，因此，我将为您提供以下内容。

简化的基于ULP的分析

以下分析是很粗略的，但是对于您最终会遇到多少错误，它的确给出了很好的“感觉”。 仅将这些作为示例。

（ab）运算本身最多会产生0.5 ULP误差（如果四舍五入RNE）。 与输入相比，此操作的舍入误差可能很小，但是如果输入非常相似并且已经包含误差，则除了噪音之外，您将一无所有！

（a ^ 2）此运算不仅会乘以输入，还会乘以输入误差。 如果处理相对误差，则意味着至少将误差乘以另一个尾数。 有趣的是，乘法器中几乎没有标准化步骤，这意味着如果乘法结果越过两个边界的幂，则相对误差将减半。 最坏的情况是输入乘以正好低于该乘积的输入，例如，两个输入几乎都等于sqrt（2）。 在这种情况下，输入误差乘以2 *ε* sqrt（2）。 如果最终最终舍入误差为0.5 ULP，则总误差约为2 ULP。

加正数最糟糕的情况是输入错误加在一起，加上另一个舍入错误。 我们现在处于3 * 2 + 0.5 = 6.5 ULP。

sqrt sqrt最坏的情况是输入接近于1.0。 该错误大致会通过，再加上一个舍入错误。 现在是7 ULP。

中间舍入步骤插入中间舍入步骤将需要更多的工作。 您可以将它们建模为与四舍五入后的位数有关的错误。 例如，使用RNE从23位尾数变为10位尾数会相对于23位尾数引入额外的2 ^（13-2）ULP错误，或者对于新尾数引入0.5 ULP（您必须缩小其他错误如果您想与此一起工作）。

我将留给您计算详细示例的错误，但是正如注释者所指出的那样，四舍五入到10位尾数将占主导地位，最终结果将精确到大约8位尾数。