最小的生成樹以最小化成本

Question

有人可以幫我解決這個問題嗎？

我們有一組E道路，一組H公路和一組V不同的城市。 我們還有與每條道路i相關的成本x（i）和與每條公路i相關的成本y（i）。 我們要建立連接城市的道路，條件是任何一對城市之間總有一條道路，而且我們最多只能修建一條高速公路，這可能比一條道路便宜。

集合E和集合H不同，並且它們各自的成本無關。

設計一種算法來構建道路（最多具有一條高速公路），以最小化總成本。

Answer 1

因此，我們擁有的是邊的完全連接圖。

解決步驟：

1. 查找僅道路的最小生成樹，並將其視為最低成本。
2. 在道路圖上添加一條高速公路，然后再次計算最小生成成本樹。
3. 比較第2步的成本和最小的成本（如果較小的話）。
4. 刪除高方式。
5. 返回第2步，然后針對每個高速公路再次執行該步驟。

O（納米）= m * mst_cost（n）

Answer 2

使用Prim或Kruskal來構建MST： O(E log V) 。

問題是最多只能有1條高速公路。

1.天真的方法來解決這個問題：

對於每個可能的高速公路，從頭開始構建MST。

該解決方案的時間復雜度： O(HE log V)

2.替代

想法：如果您構建了一個MST，並且您有一個以前從未考慮過的可用邊緣，則可以使用更好的MST來優化MST。

假設新邊連接(u,v) 。 如果使用此邊緣，則可以刪除MST中頂點u和v之間路徑中最昂貴的邊緣。 您可以在O(V)時間中天真地找到路徑。

使用此想法，時間復雜度是建立初始MST O(E log V)的成本，以及嘗試使用每條H高速公路細化MST的時間。 因此，總算法復雜度為O(E log V + HV) ，這比第一個解決方案要好。

3.優化細化

不用第二種方法來做簡單的路徑搜索方法，我們可以找到一種更快的方法。 一個相關的問題是LCA（最低共同祖先）。 解決LCA的一個好方法是使用跳轉指針。 首先，您要樹根，然后每個頂點將具有指向根的跳轉指針（1步，2步，4步等）。預處理可能會花費O(V log V)時間，而找到2個頂點的LCA為O(log V)最壞的情況（盡管實際上是O(log (depth of tree))通常更好）。

一旦找到LCA，就會隱式地為您提供頂點u和v之間的路徑。 但是，找到最昂貴的邊來刪除可能會很昂貴，因為遍歷路徑非常昂貴。

在一維問題中，可以采用范圍最大查詢（RMQ）。 這使用段樹來解決O(log N)時間中的RMQ。

我們有一棵樹，而不是一維空間（如數組）。 但是，我們可以應用相同的想法，並構建一個類似於段樹的結構。 實際上，這等效於與每個跳轉指針捆綁額外的一條信息。 為了找到LCA，樹中的每個頂點將具有指向根的log(tree depth)跳轉指針。 我們可以使用跳轉指針捆綁所跳過的邊緣的最大邊緣權重。 添加此信息的成本與首先創建跳轉指針相同。 因此，對LCA算法的略微改進使我們能夠在O(log (depth))時間上找到頂點u和v之間的路徑上的最大邊緣權重。

最后，綜合起來，該第三種解決方案的算法復雜度為O(E log V + H log V)或等效地O((E+H) log V) 。