最小的生成树以最小化成本

Question

有人可以帮我解决这个问题吗？

我们有一组E道路，一组H公路和一组V不同的城市。 我们还有与每条道路i相关的成本x（i）和与每条公路i相关的成本y（i）。 我们要建立连接城市的道路，条件是任何一对城市之间总有一条道路，而且我们最多只能修建一条高速公路，这可能比一条道路便宜。

集合E和集合H不同，并且它们各自的成本无关。

设计一种算法来构建道路（最多具有一条高速公路），以最小化总成本。

Answer 1

因此，我们拥有的是边的完全连接图。

解决步骤：

1. 查找仅道路的最小生成树，并将其视为最低成本。
2. 在道路图上添加一条高速公路，然后再次计算最小生成成本树。
3. 比较第2步的成本和最小的成本（如果较小的话）。
4. 删除高方式。
5. 返回第2步，然后针对每个高速公路再次执行该步骤。

O（纳米）= m * mst_cost（n）

Answer 2

使用Prim或Kruskal来构建MST： O(E log V) 。

问题是最多只能有1条高速公路。

1.天真的方法来解决这个问题：

对于每个可能的高速公路，从头开始构建MST。

该解决方案的时间复杂度： O(HE log V)

2.替代

想法：如果您构建了一个MST，并且您有一个以前从未考虑过的可用边缘，则可以使用更好的MST来优化MST。

假设新边连接(u,v) 。 如果使用此边缘，则可以删除MST中顶点u和v之间路径中最昂贵的边缘。 您可以在O(V)时间中天真地找到路径。

使用此想法，时间复杂度是建立初始MST O(E log V)的成本，以及尝试使用每条H高速公路细化MST的时间。 因此，总算法复杂度为O(E log V + HV) ，这比第一个解决方案要好。

3.优化细化

不用第二种方法来做简单的路径搜索方法，我们可以找到一种更快的方法。 一个相关的问题是LCA（最低共同祖先）。 解决LCA的一个好方法是使用跳转指针。 首先，您要树根，然后每个顶点将具有指向根的跳转指针（1步，2步，4步等）。预处理可能会花费O(V log V)时间，而找到2个顶点的LCA为O(log V)最坏的情况（尽管实际上是O(log (depth of tree))通常更好）。

一旦找到LCA，就会隐式地为您提供顶点u和v之间的路径。 但是，找到最昂贵的边来删除可能会很昂贵，因为遍历路径非常昂贵。

在一维问题中，可以采用范围最大查询（RMQ）。 这使用段树来解决O(log N)时间中的RMQ。

我们有一棵树，而不是一维空间（如数组）。 但是，我们可以应用相同的想法，并构建一个类似于段树的结构。 实际上，这等效于与每个跳转指针捆绑额外的一条信息。 为了找到LCA，树中的每个顶点将具有指向根的log(tree depth)跳转指针。 我们可以使用跳转指针捆绑所跳过的边缘的最大边缘权重。 添加此信息的成本与首先创建跳转指针相同。 因此，对LCA算法的略微改进使我们能够在O(log (depth))时间上找到顶点u和v之间的路径上的最大边缘权重。

最后，综合起来，该第三种解决方案的算法复杂度为O(E log V + H log V)或等效地O((E+H) log V) 。