通用最小生成树

Question

我正在阅读有关Cormen的最小生成树的信息。 以下是通用最小生成树。

假设我们有一个连通的，无向的图G =（V，E），其权重函数为w：E-> R，我们希望找到G的最小生成树。在这里，我们使用贪婪方法。 此贪婪策略由以下“通用”算法捕获，该算法一次将最小生成树扩展到一个边缘。 该算法管理一组边A，从而保持以下循环不变性。

在每次迭代之前，A是某个最小生成树的子集。

GENERIC-MST(G,w) 
A = NULL
while A is not a spanning tree 
  do find an edge (u, v) that is safe for A 
  A = A ∪ {(u, v)}
end while

return A

问题

1. 作者在不变量中表示“ A”是某个最小生成树的子集是什么意思？ 这句话中的“一些”是什么？ 我教过只有一个MST。

2. 在上面的伪代码中，作者所说的“ A不是生成树”是什么意思？ 即，while循环如何以及何时退出？

3. 在“一些”最小生成树的伪代码中，这里我的理解只是一个。 我对吗？

有人可以用一个小例子来解释吗？

谢谢！

Answer 1

1.绝对不会。 MST不一定是唯一的。 例如：

所有边缘的重量均相等。

u --- v
|     |
|     |
w --- x

上图通过删除任何边具有4个MST。

2. G = (V,E)的生成树T = (V,e)使得|e| = |V|-1 |e| = |V|-1

3.没有

Answer 2

1. 说图的生成树是唯一的时，您是对的。 但这是图形的所有边长都不同的情况。 正如上面的答案所解释的，具有相等边长的图可以具有许多不同的生成树（当然，它们全都具有相同的总权重）。
2. 当您在生成树中包含图的所有顶点时，会存在while循环。 为此，您可以在while循环中添加一个检查。

Answer 3

1. 根据@davin错误

2. 该算法将保持您拥有森林的不变性，但是在您添加足够的边缘之前，森林不会跨越图形。 因此，您必须继续添加边，直到没有一个边安全为止（这时循环中断）。

3. 见1。

Answer 4

1. 这是错误的。 即使只有两个边相等，图也可能具有许多MST。

2. A不是最小生成树，原因是：

   2.1首先， A不是树-它是断开连接的。

   2.2不跨越图形

   满足以上条件时，循环将退出

3. 正确地说，它存在于某些 MST中。