生成树和最小生成树的区别

Question

我一直在阅读生成树及其类型的概念。 这是我的理解：

生成树：图 G 的子集，连接所有顶点的边数最少

最小生成树：它是边权重之和最小的生成树。

现在，这是否意味着，在检索 MST 时，

1. 如果我们在 G 中遇到一条具有更多边（与其他路径相比）但边缘权重总和最小的路径（与所有其他可能的路径相比），我们不会将其视为 MST？

2. 只有当 G 有多个生成树时，MST 的概念才会发挥作用？ 否则生成树=MST？

谢谢您的帮助！！

Answer 1

1. 如果我们在 G 中遇到一条具有更多边（与其他路径相比）但边缘权重总和最小的路径（与所有其他可能的路径相比），我们不会将其视为 MST？

我假设通过“路径”，您的意思是写“树”？ （“路径”是一个完全不同的概念：它只有两个端点，没有分支结构。）

一棵树是一个没有环的连通图，因此每棵具有n个顶点的树都恰好有n -1 条边。 因此，如果一个图有n个顶点，那么该图的每个生成树都必须恰好有n -1 条边。 所以如果你有一个子图有超过n -1 条边，那么它就不是一棵树，所以它不是一棵生成树，所以——正如你所推测的——它不是最小生成树。

但请注意，如果一个子图连接所有顶点，则该子图必然包含至少一棵生成树； 并且除非存在负权重边，否则那些生成树的权重将小于或等于子图的权重。 因此，尽管您的示例不是最小生成树，但它很可能包含最小生成树。

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2. 只有当 G 有多个生成树时，MST 的概念才会发挥作用？ 否则生成树=MST？

如果一个图只有一个生成树，那么该生成树是最小生成树，是的。 但请注意，这只发生在图本身是一棵树的情况下（在这种情况下，它是它自己的最小生成树）； 否则它肯定会有多个生成树。

当然，即使它有多个生成树，它们也有可能具有相同的权重，在这种情况下，它们都是最小生成树。