最小生成树子图

Question

我正在阅读下一周修订课堂测试的书中的所有练习，我对这个子图问题感到很困惑。

目前我的想法让我相信，因为我们已经有了最小生成树G，因为我们在最小生成树中存在子节点，所以必须存在G'。 就条件而言，我有点不知所措。

如果X'的节点和边集合分别是节点的子集和X的边集，则图X'是图X的子图。 让我们将（V，T）作为G的最小生成树，并且G'=（V'，E'）是G的连通子图。

（a）证明（V'，E'∩T）是G'的最小生成树的子图。

（b）在什么条件下（V'，E'∩T）G'的最小生成树？ 证明你的主张。

提前致谢！

Answer 1

对于（a）

我真的不明白这个问题......你能解释一下吗？

（b）

我想是的

对于每个e=(u,v)在T如果u in V'和v in V'然后e in E

那么我们(V′,E′∩T)是G'的最小生成树。

Coz：

1. 如果某些e具有e=(u,v)在T如果u in V'和v in V'而不是in E' ，则(V′,E′∩T)根本没有被连接。 它当然不能成为G'的生成树
2. 如果条件成立的情况，但(V′,E′∩T)是不是一个生成树G'然后G'具有更低的成本生成树，让我们说这是Tg 。 我们可以通过以下方式构造G的生成树T' ，其成本低于T ，通过：（i）移除每个e=(u,v) , u in V' and v in V' and e in T从T （ii）中添加每个e=(u,v) , u in V' and v in V' and e in Tg 。 结果图是G的生成树（因为它连接时具有相同数量的T边）并且成本低于T 因此，它可以永远不会发生，因为我们已经知道T是的minimul生成树T 。

Answer 2

（a）正如我在评论中提到的（V'，E'∩T）可能包含多个组件。 通常，G'的最小生成树将需要更多边。 问题是在E'∩T中是否已经存在一些可能未被使用的边缘。 因此，我们可以将问题重新表述为G'的最小生成树（V'，T'）的存在，使得E'∩T⊂T'。

这是一个使用Kruskal算法及其正确性证明的证明。 Kruskal算法中按重量计算的边缘不是确定性的。 虽然边缘按重量排序，但是在相同权重的边缘上的非确定性的枚举。 然而，对于每个生成树，存在一些单调的边缘枚举，产生最小生成树（V，T）。 设E_x为权重x的所有边的集合。 对于排序，选择任何顺序，使得E_x∩T中的所有边都在E_x \\ T中的那些边之前.E_x∩T中的任何边都没有形成Kruskal算法中检查它们的步骤中的循环，因为它们出现在最终的最小生成树。 它们出现在什么顺序并不重要，因为顺序不会改变循环的不存在。 然后，E_x \\ T中的所有边都被丢弃，因为它们会形成周期，因为它们不会出现在T中。因此，对于产生最小树（V，T）的边E，总会有一些排序。

对于下一步，我们在G'上再次运行Kruskal算法，使用可以产生给定G的最小生成树的排序。调用此树（V'，T'）。 这里的关键属性是，当我们这样做时，E'∩T中的所有边都被添加到任何其他边之前。 相反，假设某些边缘t∈E'∩T将在G'上运行时被拒绝，因为它形成了一个周期。 这意味着某些链C已经在两个组件之间形成了连接，当计算（V，T）时，边t是第一个连接的组件。 如果是这样，同一个链将在原始运行中连接这些组件，而他们没有。 现在考虑在将E_x∩T的边缘添加到正在进行的树中之后立即在G'上的Kruskal算法的状态。 之后添加了Kruskal算法添加的任何内容，以便E_x∩T⊂T'。

（b）这部分主要是（a）部分的必然结果，即观察到边缘集E'∩T在Kruskal算法运行的某个点上始终是有效状态。 因此，如果在该点完成算法，即，边缘集合耗尽，则E'∩T恰好是最小生成树的边缘。 条件是算法在它处于这种状态时结束，因此当连接（V'，E'∩T）时，Kruskal算法终止并且（V'，E'∩T）是最小生成树。 相反，如果（V'，E'∩T）是最小生成树，那么它必然是连接的。

Answer 3

部分'a'几乎立即跟随观察到最小生成树（例如(V,T) ）确实是最小的！ 以下是证明的一部分草图：

假设(V′,E′∩T) 不是最小的矛盾。 这意味着e in E′∩T中有一些e in E′∩T ，我们可以在保留其连接性的同时删除它。 这意味着e也可以从T中移除，这显然不可能，因为T很小。

对于'b'部分，我认为lavin提供了一个不错的解决方案。 希望这会有所帮助。

Answer 4

我提供了一个非正式的tl; dr版本为不耐烦:) eh9值得赏金

a - 存在一些由V'交叉形成的生成树，与v'可能具有的所有边相交。 E'∩T必然是其中的一部分

b - 条件是连接（V'，E'∩T）时。 E'中的任何非最小边和周期都被与T的交点丢弃，并且任何剩余的最小连通图都是MST