最小生成树

Question

我已经搜寻了很多有关以下问题的答案：

给定一个连接的无向图G =（V，E），权重函数为w：E-> R。

T1是权重为W1的G的最小生成树。

将权重为w（e）的新边添加到图G中（顶点连接G中的两个现有顶点）。

T2是权重为W2的更新图的最小生成树。

证明或反对每个陈述：

1. 如果W1 = W2，则边缘e在一个循环上，该循环上每个边缘的权重最大为w（e）。

2. W2> = W1-w（e）

3. 如果W2 <W1，则新边沿e处于循环中，该循环中每个边沿的权重（e除外）大于w（e）。

Answer 1

首先，请注意以下几点：

由于G是一个连通的图，因此在两个现有顶点之间添加边e将在G创建一个循环。

陈述1：我们有W1 = W2。 通过矛盾。 假设在G中存在一个循环，其中e和边e'具有w(e') > w(e) 。 由于两个边e和e'处于同一周期，因此我们可以删除其中一个边，仍然得到生成树。 如果删除e' ，则得到W2 = W1 - w(e') + w(e) 。 由于w(e') > w(e) ，这意味着W2 < W1 ，这与前提矛盾。 因此，该陈述是正确的。

陈述3直接来自上面。

陈述2是错误的，因为我们可以举一个反例。 假设图G = (V, E, w)其中V = {A, B, C} ，边E = {e1 = (A, B), e2 = (A, C)} ， w(e1) = 10和w(e2) = 11 。 G是权重W1 = 21的最小生成树。 现在添加权重w(e) = 1的边e = (B, C) 。 现在，最小生成树由边e1和e组成，权重W2 = 11 。 将这些值插入等式W2 >= W1 -w(e) ： 11 >= 21 - 1 ，这显然是不正确的，因此为索赔提供了反例。