R中的非線性離散優化

Question

我有一個簡單的（確實是經濟學標准）非線性約束離散最大化問題，在R中解決並且遇到了麻煩。 我找到了部分問題的解決方案（非線性最大化;離散最大化），但沒有找到所有問題的聯合。

這是問題所在。 消費者想要購買三種產品（鳳梨，香蕉，餅干），知道價格並且預算為20歐元。 他喜歡多樣性（即，如果可能的話，他希望擁有所有三種產品）並且他的滿意度在消耗量上減少（他喜歡他的第一個餅干方式超過他的第100個）。

他希望最大化的功能是

當然，由於每個人都有一個價格，並且他的預算有限，他在這個約束條件下最大化了這個功能

我想要做的是找到滿足約束條件的最佳購買清單（N ananas，M香蕉，K餅干）。

如果問題是線性的，我會簡單地使用linprog :: solveLP（）。 但目標函數是非線性的。 如果問題具有連續性，那么它將是一個簡單的分析解決方案。

問題是離散和非線性的，我不知道如何繼續。

這是一些玩具數據。

df <- data.frame(rbind(c("ananas",2.17),c("banana",0.75),c("cookie",1.34)))
names(df) <- c("product","price")

我想要一個優化程序，給我一個（N，M，K）的最佳購買清單。

任何提示？

Answer 1

如果您不介意使用“手動”解決方案：

uf=function(x)prod(x)^.5
bf=function(x,pr){
  if(!is.null(dim(x)))apply(x,1,bf,pr) else x%*%pr
}
budget=20
df <- data.frame(product=c("ananas","banana","cookie"),
                 price=c(2.17,0.75,1.34),stringsAsFactors = F)
an=0:(budget/df$price[1]) #include 0 for all possibilities
bn=0:(budget/df$price[2])
co=0:(budget/df$price[3])
X=expand.grid(an,bn,co)
colnames(X)=df$product
EX=apply(X,1,bf,pr=df$price)
psX=X[which(EX<=budget),] #1st restrict
psX=psX[apply(psX,1,function(z)sum(z==0))==0,] #2nd restrict
Ux=apply(psX,1,uf)
cbind(psX,Ux)
(sol=psX[which.max(Ux),])
uf(sol) # utility
bf(sol,df$price)  #budget

 > (sol=psX[which.max(Ux),]) ananas banana cookie 1444 3 9 5 > uf(sol) # utility [1] 11.61895 > bf(sol,df$price) #budget 1444 19.96 

Answer 2

1）沒有包這可以通過蠻力來完成。 使用問題中的df作為輸入確保price是數字（它是問題的df中的一個因子）並計算每個變量的最大數量mx 。 然后創建可變計數的網格g並計算每個的total價格以及給出gg的相關objective 。 現在按照目標的降序對gg進行排序，並使這些解決方案滿足約束條件。 head將展示前幾個解決方案。

price <- as.numeric(as.character(df$price))
mx <- ceiling(20/price)
g <- expand.grid(ana = 0:mx[1], ban = 0:mx[2], cook = 0:mx[3]) 
gg <- transform(g, total = as.matrix(g) %*% price, objective = sqrt(ana * ban * cook))
best <- subset(gg[order(-gg$objective), ], total <= 20)

贈送：

> head(best) # 1st row is best soln, 2nd row is next best, etc.
     ana ban cook total objective
1643   3   9    5 19.96  11.61895
1929   3   7    6 19.80  11.22497
1346   3  10    4 19.37  10.95445
1611   4   6    5 19.88  10.95445
1632   3   8    5 19.21  10.95445
1961   2  10    6 19.88  10.95445

2）dplyr這也可以使用dplyr包很好地表達。 使用上面的g和price ：

library(dplyr)
g %>% 
  mutate(total = c(as.matrix(g) %*% price), objective = sqrt(ana * ban * cook)) %>%
  filter(total <= 20) %>%
  arrange(desc(objective)) %>%
  top_n(6)

贈送：

Selecting by objective
  ana ban cook total objective
1   3   9    5 19.96  11.61895
2   3   7    6 19.80  11.22497
3   3  10    4 19.37  10.95445
4   4   6    5 19.88  10.95445
5   3   8    5 19.21  10.95445
6   2  10    6 19.88  10.95445

Answer 3

我認為這個問題在本質上與這個問題非常相似（ 在R中求解不確定方程系統 ）。 Richie Cotton的答案是這種可能解決方案的基礎：

df <- data.frame(product=c("ananas","banana","cookie"),
                 price=c(2.17,0.75,1.34),stringsAsFactors = F)

FUN <- function(w, price=df$price){
  total <- sum(price * w) 
  errs <- c((total-20)^2, -(sqrt(w[1]) * sqrt(w[2]) * sqrt(w[3])))
  sum(errs)
}

init_w <- rep(10,3)
res <- optim(init_w, FUN, lower=rep(0,3), method="L-BFGS-B")
res
res$par # 3.140093 9.085182 5.085095
sum(res$par*df$price) # 20.44192

請注意，解決方案的總成本（即價格）為20.44美元。 為了解決這個問題，我們可以對誤差項進行加權，以便更加強調第一項，即與總成本相關：

### weighting of error terms
FUN2 <- function(w, price=df$price){
  total <- sum(price * w) 
  errs <- c(100*(total-20)^2, -(sqrt(w[1]) * sqrt(w[2]) * sqrt(w[3]))) # 1st term weighted by 100
  sum(errs)
}

init_w <- rep(10,3)
res <- optim(init_w, FUN2, lower=rep(0,3), method="L-BFGS-B")
res
res$par # 3.072868 8.890832 4.976212
sum(res$par*df$price) # 20.00437

Answer 4

正如LyzandeR所說，R中沒有非線性整數規划求解器。相反，您可以使用R包rneos將數據發送到NEOS求解器之一並將結果返回到R過程。

在NEOS Solvers頁面上選擇“Mixed Integer Nonlinearly Constrained Optimization”的解算器之一 ，例如Bonmin或Couenne。 對於上面的示例，請將AMPL建模語言中的以下文件發送給以下解算器之一：

[請注意，最大化乘積x1 * x2 * x3與最大化乘積sqrt(x1) * sort(x2) * sqrt(x3) 。

型號文件：

param p{i in 1..3};
var x{i in 1..3} integer >= 1;
maximize profit: x[1] * x[2] * x[3];
subject to restr: sum{i in 1..3} p[i] * x[i] <= 20;

數據文件：

param p:= 1 2.17  2 0.75  3 1.34 ;

命令文件：

solve;
display x;

您將收到以下解決方案：

x [*] :=
1  3
2  9
3  5
;

這種方法適用於更多擴展示例，“手動”解決方案不合理，而且舍入optim解決方案不正確。

為了看一個更苛刻的例子，讓我提出以下問題：

求整數向量x =（x_i），i = 1，...，10，最大化x1 * ... * x10，使得p1 * x1 + ... + p10 * x10 <= 10，其中p = （p_i），i = 1，...，10，是以下價格向量

p <- c(0.85, 0.22, 0.65, 0.73, 0.91, 0.11, 0.31, 0.47, 0.93, 0.71)

使用constrOptim來解決這個帶有線性不等式約束的非線性優化問題，我得到了900不同起點的解，但從來沒有960的最優解！