如何在SymPy中擴展矩陣表達式？

Question

在SymPy中，我試圖執行矩陣乘法並在之后展開它。 但是，SymPy似乎不支持矩陣表達式的擴展。 例如，這是矩陣的4階Runge-Kutta（RK4）：

from sympy import init_session
init_session()
from sympy import *

A = MatrixSymbol('A', 3, 3)
x = MatrixSymbol('x', 3, 1)
dt = symbols('dt')

k1 = A*x
k2 = A*(x + S(1)/2*k1*dt)
k3 = A*(x + S(1)/2*k2*dt)
k4 = A*(x + k3*dt)
final = dt*S(1)/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)
final.expand()

產生結果

Traceback (most recent call last)
<ipython-input-38-b3ff67883c61> in <module>()
     12 final = dt*1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)
     13 
---> 14 final.expand()

AttributeError: 'MatMul' object has no attribute 'expand'

我希望表達式可以像標量變量一樣擴展：

A,x,dt = symbols('A x dt')
k1 = A*x
k2 = A*(x+k1*dt*S(1)/2)
k3 = A*(x+k2*dt*S(1)/2)
k4 = A*(x+k3*dt)
final = x+dt*(S(1)/6)*(k1+k2+k3+k4)
collect(expand((final)),x)

結果：

x*(A**4*dt**4/24 + A**3*dt**3/8 + A**2*dt**2/3 + 2*A*dt/3 + 1)

是否有可能同樣改變矩陣表達式？

nicoguaro的答案消除了錯誤，但將整個表達式擴展為一個矩陣。 如標量示例所示，不是我正在尋找的。

Answer 1

Matrix(final)使用您的各個方程創建和顯式矩陣。 將它們留在矩陣中可能很方便，這樣無論你對一個條目做什么都可以對所有人做。 為此，請定義要作為applyfunc的函數參數執行的applyfunc ：

>>> ex = Matrix(final)
>>> ex = ex.applyfunc(expand)
>>> ex = ex.applyfunc(lambda i: collect(i, dt))
...

對於打印經濟性我使用緊湊符號條目的矩陣來計算相同的值然后在簡化矩陣上運行cse給出：

>>> A = Matrix(3, 3, var('a:3:3'))
>>> x = Matrix(3, 1, var('x:3'))
>>> dt = symbols('dt')
>>> k1 = A*x
>>> k2 = A*(x + S(1)/2*k1*dt)
>>> k3 = A*(x + S(1)/2*k2*dt)
>>> k4 = A*(x + k3*dt)
>>> final = dt*S(1)/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)
>>> eqi = Matrix(final)
>>> print(cse(eqi.applyfunc(simplify)))
([(x3, 4*x0), (x4, a01*x1), (x5, a02*x2), (x6, dt*(a00*x0 + x4 + x5) +
2*x0), (x7, a00*x6), (x8, a11*x1), (x9, a12*x2), (x10, dt*(a10*x0 + x8
+ x9) + 2*x1), (x11, a01*x10), (x12, a21*x1), (x13, a22*x2), (x14,
dt*(a20*x0 + x12 + x13) + 2*x2), (x15, a02*x14), (x16, dt*(x11 + x15 +
x7) + x3), (x17, a00*x16), (x18, 4*x1), (x19, a10*x6), (x20, a11*x10),
(x21, a12*x14), (x22, dt*(x19 + x20 + x21) + x18), (x23, a01*x22),
(x24, 4*x2), (x25, a20*x6), (x26, a21*x10), (x27, a22*x14), (x28,
dt*(x25 + x26 + x27) + x24), (x29, a02*x28), (x30, dt*(x17 + x23 +
x29) + x3), (x31, a10*x16), (x32, a11*x22), (x33, a12*x28), (x34,
dt*(x31 + x32 + x33) + x18), (x35, a20*x16), (x36, a21*x22), (x37,
a22*x28), (x38, dt*(x35 + x36 + x37) + x24), (x39, dt/24)], [Matrix([
[   x39*(a00*x3 + a00*x30 + a01*x34 + a02*x38 + 4*x11 + 4*x15 + 2*x17
+ 2*x23 + 2*x29 + 4*x4 + 4*x5 + 4*x7)], [  x39*(a10*x3 + a10*x30 +
a11*x34 + a12*x38 + 4*x19 + 4*x20 + 4*x21 + 2*x31 + 2*x32 + 2*x33 +
4*x8 + 4*x9)], [x39*(a20*x3 + a20*x30 + a21*x34 + a22*x38 + 4*x12 +
4*x13 + 4*x25 + 4*x26 + 4*x27 + 2*x35 + 2*x36 + 2*x37)]])])

對非交換表達的支持也有限，可以在這種情況下提供幫助：

>>> A, x = symbols("A x", commutative=False)
>>> dt = symbols('dt')
>>> k1 = A*x
>>> k2 = A*(x + S(1)/2*k1*dt)
>>> k3 = A*(x + S(1)/2*k2*dt)
>>> k4 = A*(x + k3*dt)
>>> final = dt*S(1)/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)
>>> final.expand()
dt**4*A**4*x/24 + dt**3*A**3*x/6 + dt**2*A**2*x/2 + dt*A*x
>>> factor(_)
dt*A*(dt**3*A**3/24 + dt**2*A**2/6 + dt*A/2 + 1)*x

但並非所有的簡化例程都是nc知道的（這是一個已知的問題）：

>>> collect(final,x)
Traceback (most recent call last):
...
AttributeError: Can not collect noncommutative symbol

Answer 2

我認為您可以擴展Matrix表達式。 但你擁有的不是矩陣，而是兩個符號矩陣（Matsymbols）的乘法。 如果將表達式轉換為矩陣，則可以獲得所需的擴展。 請參閱下面的額外行

from sympy import init_session
init_session()
from sympy import *

A = MatrixSymbol('A', 3, 3)
x = MatrixSymbol('x', 3, 1)
dt = symbols('dt')

k1 = A*x
k2 = A*(x + S(1)/2*k1*dt)
k3 = A*(x + S(1)/2*k2*dt)
k4 = A*(x + k3*dt)
final = dt*S(1)/6*(k1 + k2 + k3 + k4)
Matrix(final).expand()