如何使拋物線適合點集？

Question

我有一些要點，如下圖所示。 所有點的位置都是已知的。 我如何才能將拋物線擬合到這組點並獲得拋物線方程(x, y)的新位置？

Answer 1

要實現二次曲線擬合並非易事^{（請檢查最后的第二個鏈接）} 。 首先，您可以使用簡單的線性回歸 ，一旦您了解了原理^{（最后檢查第一個鏈接）} ，就可以將其應用於您的案例。

下面的代碼是一個簡單的實現，可以將您的數據(x, y)為： y = m*x + b ：

linear_regression.h ：

#ifndef LINEAR_REGRESSION_H
#define LINEAR_REGRESSION_H
// data structure used as returning type of the function finding m and b
struct Coefficients {
    // constructor
    Coefficients (double mm, double bb)
        : m(mm), b(bb) { }

    // data members 
    double m;
    double b;
};

// This function fits: y = mx + b, to your (x,y) data.
Coefficients linear_regression(const std::vector<double>& x,const std::vector<double>& y){
    // variables needed for the calculations
    double sum_x = 0.0;     double sum_y = 0.0;
    double sum_x2 = 0.0;    double sum_y2 = 0.0;
    double sum_xy = 0.0;

    double m = 0.0;         double b = 0.0;

    if (x.size() != y.size()) std::cerr << "Mismatched number of points!\n";
    double number_of_points = x.size();

    // calculate the sums
    for (size_t i = 0; i < number_of_points; ++i) {
        sum_x  += x[i];
        sum_y  += y[i];          
        sum_x2 += std::sqrt(x[i]); 
        sum_y2 += std::sqrt(y[i]);       
        sum_xy += x[i] * y[i];   
    }
    double denominator = number_of_points * sum_x2 - std::sqrt(sum_x);

    // no solution, return: m = 0, b = 0  
    if (denominator == 0) return Coefficients(m, b);

    // calculate the slope: m and the intercept: b
    m = (number_of_points * sum_xy - sum_x * sum_y) / denominator;
    b = (sum_y * sum_x2 - sum_x * sum_xy) / denominator;

    return Coefficients (m, b);
}
#endif

main.cpp ：

#include <iostream>
#include <vector>
#include "linear_regression.h"


int main () {
    // vectors holding the set of points
    std::vector<double> x_points;
    std::vector<double> y_points;

    Coefficients coeff = linear_regression (x_points, y_points);

    // where: y = m * x + b
    double m = coeff.m;
    double b = coeff.b;
}

這里，有關二次曲線擬合 的線性回歸和最小二乘回歸 方法的更多信息。

Answer 2

您可以用極坐標表示曲線（請參見Wikipedia：“ 極坐標系統 ”）。 只需在拋物線內部選擇任意點作為原點，並將(x,y)坐標轉換為(r,phi)坐標。 現在，您可以將點表示為r = f(phi) ，其中r是到原點的距離， phi是極坐標中的角度。 一個總能做為原點的點是所有點的平均值，因為它總是位於拋物線內。

下一步，您需要在新的極坐標中變換拋物線方程。 與簡單的拋物線方程相比，它需要一個額外的參數來旋轉。 該方程式可用於擬合您的數據，例如，使用Wikipedia文章“ 非線性最小二乘法 ”中所述方法的實現。

我不知道這是否是解決此問題的最簡單方法，但我希望它至少可以使您對如何進行操作有所了解。