以歸納方式證明兩個函數定義的相等性

Question

我如何進行歸納以建立語句moll n = doll n ，with

moll 0 = 1                               --(m.1)
moll n = moll ( n-1) + n                 --(m.2)

doll n = sol 0 n                         --(d.1)
 where
  sol acc 0 = acc +1                     --(d.2)
  sol acc n = sol ( acc + n) (n-1) -- ?    (d.2)

我試圖證明n = 0的基本情況

doll 0 = (d.2) = 1 = (m.1) = moll 0 , which is correct.

現在為n+1 ，顯示出來

moll 2n = doll (n + 1)

=> doll (n + 1) = (d.2) = soll (acc + n + 1) n

但現在呢？ 我怎樣才能進一步簡化它？

Answer 1

你的n+1步中有一個錯誤。 我懷疑這是因為你是Haskell及其優先規則的新手。

moll (n+1)不是，因為你寫了moll 2n - 我假設你的意思是moll (2*n) ，因為moll 2n是一個haskell語法錯誤。

在任何情況下， moll (n+1)實際上是moll n + n + 1 ，或者，加上額外的括號只是為了明確：

(moll n) + (n + 1)

也就是說，你將moll應用於n ，然后在結果中添加n + 1 。

從這里你應該能夠應用歸納假設並繼續前進。

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更明確地說，因為你似乎仍然遇到麻煩：

moll (n+1) == (moll n) + (n + 1)       (by m.2)
           == (doll n) + (n + 1)       (by induction hypot.)
           == (sol 0 n) + (n + 1)      (by d.1)

現在，作為一個引理：

sol x n == (sol 0 n) + x

這可以通過n的歸納來證明。 n等於0顯然是正確的。

對於引理的歸納步驟：

sol x (n+1) == (sol (x + (n+1)) n)       (By d.2, for (n+1) > 0)
            == (sol 0 n) + (x + (n+1))   (By the induction hypot.)
            == (sol 0 n) + (n+1) + x     (This is just math; re-arranging)
            == ((sol 0 n) + (n+1)) + x
            == (sol (n+1) n) + x         (By the induction hypot. again)
            == (sol 0 (n+1)) + x         (By d.2 again)

我第二次使用歸納假設似乎有點奇怪，但請記住歸納假設說：

 sol x n == (sol 0 n) + x

對於所有x 。 因此，我可以將它應用於添加到(sol 0 n)任何內容，包括n+1 。

現在，回到主要證據，使用我們的引理：

moll (n+1) == (sol 0 n) + (n + 1)      (we had this before)
           == sol (n+1) n              (by our lemma)
           == sol 0 (n+1)              (by d.2)
           == doll (n+1)               (by d.1)