如何在沒有類的情況下歸納證明類型相等？

Question

我試圖證明類型級列表的關聯性，這種方式允許我在等價類型之間進行轉換，而無需攜帶任何約束。

假設連接的標准定義：

type family (++) (xs :: [k]) (ys :: [k]) :: [k] where
  '[] ++ ys = ys
  (x ': xs) ++ ys = x ': (xs ++ ys)

假設，我得到一個 function：

given :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). Proxy ((a ++ b) ++ c)
given = Proxy  -- Proxy is just an example

我想稱之為 function 然后使用關聯性：

my :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). Proxy (a ++ (b ++ c))
my = given @k @a @b @c  -- Couldn't match type ‘(a ++ b) ++ c’ with ‘a ++ (b ++ c)’

這種類型相等確實不是微不足道的，所以編譯器不理解它並不奇怪，但是我可以證明它，不幸的是。 我不知道如何說服編譯器我可以。

我自然的第一個想法是做類似的事情：

proof :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). (a ++ (b ++ c)) :~: ((a ++ b) ++ c)
proof = _

然后將我的 function 更改為：

my :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). Proxy (a ++ (b ++ c))
my = case proof @k @a @b @c of Refl -> given @k @a @b @c

但是我仍然需要定義proof ，為此我需要對其類型 arguments 執行歸納。 我知道對 Haskell 中的類型進行歸納的唯一方法是定義一個類型 class，但是我必須在my的類型中添加相應的約束，我不想這樣做 - 事實上它given的調用和強制結果是一個“實現細節”。

有沒有辦法在不訴諸不安全假設的情況下證明 Haskell 中的這種類型相等？

Answer 1

不，如果沒有類型類約束，您無法證明這一點，因為它不正確。 特別是，這里有一個反例：

Any ++ ([] ++ []) -- reduces to Any ++ []
(Any ++ []) ++ [] -- does not reduce

要排除Any的（愚蠢）存在，您必須使用沒有Any實例的類型類； 沒有其他選擇。