你如何證明一個函數對於它的類型是唯一的？

Question

id是類型a -> a的唯一函數，而fst是類型(a,b) -> a的唯一函數。 在這些簡單的情況下，這是非常簡單的。 但總的來說，你會如何證明這一點？ 如果有多個相同類型的可能功能怎么辦？

或者，給定函數的類型，如何導出該類型的唯一（如果這是真的）函數？

編輯：我特別感興趣的是當我們開始在類型中添加約束時會發生什么。

Answer 1

您正在尋找的結果來自雷諾茲的參數化，並且是Wadler在免費定理中最為着名的。

證明基本參數化結果的最優雅的方法我已經看到使用“單一類型”的概念。 基本上，給定任何ADT

data Nat = Zero | Succ Nat

存在一個索引族（也稱為GADT）

data SNat n where
   SZero :: SNat Zero
   SSucc :: SNat n -> SNat (Succ n)

我們可以通過將所有類型“刪除”為無類型語言來為我們的語言提供語義，以便Nat和SNat擦除相同的東西。 然后，按語言的輸入規則

id (x :: SNat n) :: SNat n

SNat n只有一個居民（它的單身人士），因為語義是由擦除給出的，函數不能使用他們的參數類型，所以在任何Nat上從id的唯一值是你給它的數字。 這個基本論證可以擴展到證明大多數參數性結果，並被Karl Crary用於參數化結果的簡單證明技術中使用，盡管我在這里的演示靈感來自Stone和Harper