線性或（n log n）時間復雜度

Question

function f(n) {
  var cnt = 0;

  for (var j = n; j > 0; j = Math.floor(j / 5)) {
    var k = j * 2;

    while (k > 0) {
      cnt++;
      k -= 5;
    }
  }

  return cnt;
}

這個函數的時間復雜度是O(n)還是O(n log n) ， 為什么 ？
測試產生接近線性增長的結果，但是對於某些n log n算法也是如此，對嗎？

Answer 1

在for循環的每次迭代中完成的工作形成一個可以由幾何級數近似的級數 （它是底數和-= 5的近似值，但可以用作上限）。

級數的總和將等於第一項乘以某個常數，與1 + 1/2 + 1/4 ... = 2相同。

所以這是O（n）。

Answer 2

2 * sum(5^j / 5) for j = 0 to log_{5}(n) = O(n)它是2 * sum(5^j / 5) for j = 0 to log_{5}(n) = O(n) 。 它基本上是幾何級數。 指向Wikipedia的鏈接https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression

Answer 3

讓我們假設復雜度， 因為for的迭代C復雜度為 C = ln（n）/ ln（5），而while則為C = k / 5（k = j * 2）整個復雜度為

N = 5^m  ->  m = ln(n)/ln(5)

C(n) = sum(k = 0->m)(5^k/5) * 2

C(n) = (1 - 5^m)/(1 - 5) * 2 = (n + 1)/2

O(n) = n

Answer 4

您擁有從i = 1到log（n）的for循環，而循環的長度為2 * n / 5 ^ i * 1/5。 讓我們計算一下總和：2/5 * n *（從i = 1到log（n）的總和：1/5 ^ i），總和就是geom。 進展，所以它是有限的。 所以你有O（c * n）其中c是一個常數。