线性或（n log n）时间复杂度

Question

function f(n) {
  var cnt = 0;

  for (var j = n; j > 0; j = Math.floor(j / 5)) {
    var k = j * 2;

    while (k > 0) {
      cnt++;
      k -= 5;
    }
  }

  return cnt;
}

这个函数的时间复杂度是O(n)还是O(n log n) ， 为什么 ？
测试产生接近线性增长的结果，但是对于某些n log n算法也是如此，对吗？

Answer 1

在for循环的每次迭代中完成的工作形成一个可以由几何级数近似的级数 （它是底数和-= 5的近似值，但可以用作上限）。

级数的总和将等于第一项乘以某个常数，与1 + 1/2 + 1/4 ... = 2相同。

所以这是O（n）。

Answer 2

2 * sum(5^j / 5) for j = 0 to log_{5}(n) = O(n)它是2 * sum(5^j / 5) for j = 0 to log_{5}(n) = O(n) 。 它基本上是几何级数。 指向Wikipedia的链接https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression

Answer 3

让我们假设复杂度， 因为for的迭代C复杂度为 C = ln（n）/ ln（5），而while则为C = k / 5（k = j * 2）整个复杂度为

N = 5^m  ->  m = ln(n)/ln(5)

C(n) = sum(k = 0->m)(5^k/5) * 2

C(n) = (1 - 5^m)/(1 - 5) * 2 = (n + 1)/2

O(n) = n

Answer 4

您拥有从i = 1到log（n）的for循环，而循环的长度为2 * n / 5 ^ i * 1/5。 让我们计算一下总和：2/5 * n *（从i = 1到log（n）的总和：1/5 ^ i），总和就是geom。 进展，所以它是有限的。 所以你有O（c * n）其中c是一个常数。