SOP 中的布爾表達式

Question

我是布爾表達式的新手。

我的任務是使用 K 映射簡化F(w,x,y,z) = xy' + x'z' + wxz + wx'y 。

我已經完成了，結果是wx'+w'y'+xyz 。

現在我必須“以標准 SOP 形式編寫它。您需要提供獲得標准 SOP 的步驟”。

我不知道該怎么做。 我認為 k 地圖后的結果是 sop。

Answer 1

是的，您已經以SOP形式獲得它。 但是第二個問題是關於標准（又稱規范）SOP形式的。 這比必須使用K-maps要容易得多（但通常很長），這只是最小項的總和。

Answer 2

我認為您的解決方案不能解決所有問題 。 這些卡諾圖顯示原始表達式，簡化版本（最小SOP）和規范SOP，其中每個乘積都包含所有文字（所有給定變量或它們的取反）。

原始表達是

F(w,x,y,z) = x·¬y + ¬x·¬z + w·x·z + w·¬x·y

–在相應的（第一個）K映射中圈出兩個四和兩對。

原始表達式使用K-map簡化（如第二個所示）：

F(w,x,y,z) = x·¬y + ¬x·¬z + w·y·z

與您的工具有所不同，但是您可以使用Wolframalpha在線工具檢查其是否為簡化的原始表示形式。

它也是最小DNF，但不是最小項的總和（輸出等於1），因為總和的每個乘積中都沒有變量。

第三張K-map顯示了十個最小項。 它們形成規范的DNF：

F(w,x,y,z) = m0 + m2 + m4 + m5 + m8 + m10 + m11 + m12 + m13 + m15 =
           = ¬w·¬x·¬y·¬z + ¬w·¬x·y·¬z + ¬w·x·¬y·¬z + ¬w·x·¬y·z + w·¬x·¬y·¬z 
             + w·¬x·y·¬z + w·¬x·y·z + w·x·¬y·¬z + w·x·¬y·z + w·x·y·z

我檢查你的簡化表達，但也有不是所有的人覆蓋（即使有一些有用的無關狀態（標記X））。 也許你打錯字了。 或原始表達形式中可能有錯字？

Answer 3

我們可以在python實現4個變量的K-Map算法，如下圖。 該函數接受 SOP（乘積總和）形式的布爾函數和變量名稱，並返回簡化的簡化表示。 基本上，您需要創建包含 8、4、2 等 2 次冪的總項的矩形組，並嘗試在一組中包含盡可能多的元素。

例如，該函數可以表示為 F(w,x,y,z) = xy' + x'z' + wxz + wx'y 以 SOP 形式表示為 f(w,x,y,z)=∑(0 ,2,4,5,8,10,11,12,13,15)，如下表所示：

從下一段代碼的輸出可以看出，程序輸出了簡化形式x¬y + ¬x¬z + wyz ，其中布爾變量x否定在代碼中表示為¬x 。

from collections import defaultdict
from itertools import permutations, product
    
def kv_map(sop, vars):
    
    sop = set(sop)
    not_covered = sop.copy()
    sop_covered = set([])
    
    mts = [] # minterms
    
    # check for minterms with 1 variable
    all_3 = [''.join(x) for x in product('01', repeat=3)]
    for i in range(4):
        for v_i in [0,1]:
                if len(not_covered) == 0: continue
                mt = ('' if v_i else '¬') + vars[i]
                s = [x[:i]+str(v_i)+x[i:] for x in all_3]
                sop1 = set(map(lambda x: int(x,2), s))
                if len(sop1 & sop) == 8 and len(sop_covered & sop1) < 8: # if not already covered
                    mts.append(mt)
                    sop_covered |= sop1
                    not_covered = not_covered - sop1
        if len(not_covered) == 0:
           return mts
    
    # check for minterms with 2 variables
    all_2 = [''.join(x) for x in product('01', repeat=2)]
    for i in range(4):
        for j in range(i+1, 4):
            for v_i in [0,1]:
                for v_j in [0,1]:
                    if len(not_covered) == 0: continue
                    mt = ('' if v_i else '¬') + vars[i] + ('' if v_j else '¬') + vars[j]
                    s = [x[:i]+str(v_i)+x[i:] for x in all_2]
                    s = [x[:j]+str(v_j)+x[j:] for x in s]
                    sop1 = set(map(lambda x: int(x,2), s))
                    if len(sop1 & sop) == 4 and len(sop_covered & sop1) < 4: # if not already covered
                        mts.append(mt)
                        sop_covered |= sop1
                        not_covered = not_covered - sop1
    if len(not_covered) == 0:
        return mts

    # check for minterms with 3 variables similarly (code omitted)
    # ... ... ...
    
    return mts
    
mts = kv_map([0,2,4,5,8,10,11,12,13,15], ['w', 'x', 'y', 'z'])
mts
# ['x¬y', '¬x¬z', 'wyz']

下面的動畫展示了上面的代碼如何（貪婪地）簡化以 SOP 形式給出的布爾函數（基本目標是用最少的 2 次冪塊覆蓋所有 1）。 由於算法是貪婪的，它可能會卡在某個局部最小值，我們需要小心。