州數最多-DFA / NFA

Question

我試圖圍繞常規語言進行一些操作，例如交集 ， 串聯和Kleene star （對於DFA和NFA以及它們之間的區別）。

想象以下情況：

假設我們有L_A和L_B作為DFA M_A和M_B定義的常規語言 ，並且n_A和n_B是M_A和M_B中的狀態數 。

突出兩個問題 ：

1. 在DFA中 ，使用語言L_A *所需的最大狀態數是什么？

2. 在NFA中 ，對於語言L_A（路口）L_B，需要的最大狀態數是什么？

高度重視有關如何解決這些問題的任何幫助/指針/建議 ！ 我不知道如何或從哪里開始。

Answer 1

在DFA中，使用語言L_A *所需的最大狀態數是什么？

“您需要的最大狀態數”是在Myhill-Nerode定理的不可區分關系下要求等價類數的另一種方法。 假設L_A“需要” x個狀態（以其最小DFA），其中x小於或等於n_A。 L_A *“需要”多少個狀態？

當然，在某些情況下，L_A *“需要”的狀態少於L_A。 考慮語言{0，1}勝過{0，1}； 為此的最小DFA具有三個狀態，而{0，1} *的最小DFA具有一個狀態。

此外，不難想象L_A *“需要”相同數量狀態的語言：例如，當L = L *時。 假設L_A = {0，1} 。 然后L_A = {0，1} ** = {0，1} * = L，而L_A *“需要”相同數量的狀態。

我認為您的問題確實與我們需要更多的情況有關，尤其是在最壞的情況下我們可能還需要多少呢。 假設L_A的等價類為c_1，c_2，...，c_x。 將它們視為將類中的字符串轉換為L_A中的字符串的字符串集。 那么L_A *的類別是（c_1）（L_A *）+ e，（c_2）（L_A *），...，（c_w）（L_A *）。 因此，不同類的最大數量為w； 我們不能通過應用Kleene星來創建任何新類。 但是我們當然可以使它們崩潰！ ！= b的（c_a）（L_A）* =（c_b）（L_A）*是可能的。 考慮L_A = {0，1}。 然后c_1 = {0，1}，c_2 = {e}，c_3 = {}。 然后（c_1）（L_A）* + e = {e，0，1，...}，（c_2）（L_A）* = {e，0，1，...}，（c_3）（L_A）* = {}。 我們使用此方法最終得到了兩個不同的候選者，並且可以注意到（c_3）（L_A）*等價類中沒有字符串，從而進一步縮減了候選者。

但重要的一點是，我們再也不能擁有更多的東西。 因此，“所需”狀態數的理論最大值為x，其中x為L_A的“所需”狀態數。

在NFA中，對於語言L_A（路口）L_B，需要的最大狀態數是什么？

令x <= n_A是L_A的數字“需要”，而y <= n_B是n_B的數字“需要”。 相交可以很容易導致例如空的語言，因此應該清楚，相交中的“需要”狀態可能遠低於x和y。 如果L_A = L_B，則相同，因為在這種情況下，L_A（交叉點）L_B = L_A（交叉點）L_A = L_A。

請注意，我們永遠不需要超過x * y，因為我們始終可以使用笛卡爾乘積機器結構來構造DFA，其狀態數等於L_A和L_B的DFA中狀態數的乘積，而DFA為NFA。 一個自然的問題是對於某些語言L_A和L_B是否達到此限制。 答案是事實。

考慮L_A = {a ^ nk}和L_B = {a ^ mk}，其中n和m是相對質數且大於1。 然后，L_A（交點）L_B ＝ {a ^（nm）}。 L_A的最小DFA具有n個狀態，L_B的最小DFA具有m個狀態。 L_A（交叉點）L_B的最小DFA具有nm狀態。 這些DFA均沒有具有較少狀態的相應等效NFA。 a ^ 2k的DFA具有轉換表：

q    e    q'
q0   a    q1
q1   a    q2

隨着q0接受。 因此（可達到的）最大值為x y <= n_A n_B。