數組算法及其時間復雜度分析

Question

我應該分析這段代碼，並講一些有關其時間復雜度的信息，但是我很難理解代碼本身的作用，它如何改變數組a？

我也不理解以下兩個操作：1）foobar [a [i]] ++; 因此，您將foobar中的零替換為數組a的元素嗎？ 但是++的作用是什么？

2）a [outPos ++] = 1； 這將首先增加outPos，並在整個for循環中使a [0]保持不變？

public static void foo(int[] a, int b) {
    int [] foobar = new int[b+1];
    for (int i = 0; i<foobar.length; i++)
        foobar[i]=0;
    for (int i = 0; i<a.length; i++)
        foobar[a[i]]++;
    int outPos = 0;
    for (int i=0; i<foobar.length; i++)
        for (int j=0; j<foobar[i]; j++)
            a[outPos++]=i;
}

就時間復雜度而言，我認為是O（n ^ 2）。 前兩個for循環以恆定的時間運行。 但是在我看來，第三個嵌套循環的最壞情況是foobar中的最后一個元素很大，然后將是平方的？

Answer 1

它是Counting Sort的實現，

其中a[]存儲要排序的數組， b是a[]的最大整數

foobar[]是大小為b的計數數組

令N = sizeof(a), M = b對於常用符號， N = sizeof(a), M = b ，

前兩個循環：

1. 將計數數組初始化為零O(M)
2. 計算元素，說a[]是否有3個'10'， foobar[10] = 3 ， O(N)

棘手的第三循環：

1. 外環，無疑， O(M)
2. 內循環，您必須考慮可以增加j的總時間（最大） ：即Sum(foobar[]) = sizeof(a) = N ，因此在整個外循環迭代過程中，此循環確實是必然的最多執行N次。 因此，兩個循環整體都是O(N+M) ，而不是直觀的O(NM)

因此總復雜度為： O(N) + O(M) + O(N+M) = O(N+M) 。

如果您發現難以理解第三個循環的復雜性，請使用以下技巧：

這是一個零和游戲。 如果某些foobar[z] is large ，則有很多foobar[j] = 0 ，這幾乎意味着跳過此類i的內部循環。 否則，所有foobar[j]大小均約為平均大小。

很難對i每個迭代進行分析，但是很容易分析整個內部循環，因為我們知道foobar[]總和是一個常數。

Answer 2

這看起來像是計數排序實現。 考慮到N（項數）是數組a的長度，M（最大可能項）是b ，其時間復雜度為O（N + M）。