圖論算法

Question

給定的問題是

給定一個具有n個頂點的森林，請添加邊以使其成為直徑最小的樹。 我嘗試了許多方法，但沒有一個通過系統測試用例。請提出一些算法來解決此問題。

這是社論ncpc.idi.ntnu.no/ncpc2015/ncpc2015slides.pdf的鏈接。問題名稱為Adjoin the Networks。 我無法理解社論中提供的解決方案

更新：

https://www.quora.com/What-is-the-solution-for-Dreaming-on-IOI-2013

該鏈接為社論中提到的解決方案提供了最佳解釋

Answer 1

頂點v的偏心率表示為ecc(v) ，定義為ecc(v):=max_u d(u,v) ，即到圖中最遠頂點的距離。 曲線圖G 中心是ecc(v)=min_v max_u d(u,v)任何頂點v ，即中心是使偏心率最小的頂點。

如果合並兩棵樹（來自不同的連接組件） T1和T2 ，通過在它們的中心c1和c2之間放置一條邊，您將得到一棵樹T ，其diam T = max(diam T1, diam T2, 1+rad(T1)+rad(T2)) 。

從這些屬性可以明顯看出以下方法的正確性。

這是該算法的一個主意，讓我無所適從：

• 令T1 ， T2 ，...， Tk為組成森林的樹木。
• 計算每個樹木Ti的中心頂點 ci 。
• 通過以智能方式在中心之間放置邊緣來連接組件。

當然，現在的問題是如何巧妙地解決最后一個問題。 直觀地，我建議您先將直徑最大的treest連接起來（然后更新新樹的直徑並計算新樹的中心）。 也許是這樣的：

而優先級隊列包含一個以上的樹做

• 令T1和T2為最大直徑的樹木； 令c1和c2為中心；
• 連接c1和c2形成新樹T ;
• 計算T的新中心c ，計算diam T並將T放回優先級隊列（可以是使用直徑作為鍵的最大堆）。

完成

更新。 我不確定是先加入大直徑樹還是反過來（即先加入最小直徑樹）。 但是現在很容易做一個草圖證明（一旦您弄清楚要走的路），證明這是正確的路。

更新。 如果您首先連接最大的模塊，則數學當然會通過（如PDF中所建議）。