我們如何知道NP完全問題是NP中最困難的問題？

Question

我知道，如果您可以針對“每個”問題進行多項式時間縮減，那么證明該問題至少與NP中的每個問題一樣困難。 除此以外，我們怎么知道我們發現了NP中的每個問題？ 是否存在我們可能尚未發現或證明在NP中存在但不能歸結為任何np完全問題的問題？ 還是這是一個懸而未決的問題？

Answer 1

正如其他人正確指出的那樣，問題是NP而不是NP完全的，這意味着P！= NP，因此找到一個問題將給您帶來一百萬美元和永恆的榮耀。 被認為屬於此類的一個著名問題是整數分解 。 但是，您最初的問題是

是否存在我們可能尚未發現或證明在NP中存在但不能歸結為任何np完全問題的問題？

答案是否定的 。 根據NP完全性的定義，使問題A成為NP完全性的兩個必要條件之一是，每個NP問題都需要在多項式時間內還原為A。如果您想了解如何證明每個NP問題可以在多項式時間內還原為某個NP完全問題，請看Cook-Levin定理的證明，該證明指出3-SAT問題是NP完全問題。 它是第一個被證明的NP完全問題，后來通過找到從3-SAT適當減少到這些問題的方法，許多其他NP完全問題也被證明是NP完全問題。

Answer 2

NP包含所有可以（理論上）解決的問題，這些問題可以通過進行幸運的猜測，猜測解並在多項式時間內檢查解是否正確來解決。 例如，旅行推銷員問題“我能否以不到9,825英里的行程訪問美國所有50個州的國會大廈”，可以通過猜測一次行程並檢查時間是否太長來解決。

NP中的一個問題基本上是模擬具有各種輸入的可編程計算機電路，並檢查是否可以實現一定的輸出。 而且該可編程計算機電路功能強大，足以解決NP中的所有問題。

因此，是的，我們了解 NP中的所有問題。

（然后， 根據定義 ，當然可以將NP完全問題用於解決NP中的任何問題。如果存在無法解決的問題，則該問題不在NP中）。

Answer 3

除此以外，我們怎么知道我們發現了NP中的每個問題？

我們沒有。 宇宙中所有問題的集合不僅是無限的，而且是不可數的。

是否存在我們可能尚未發現或證明在NP中存在但不能歸結為任何np完全問題的問題？

我們不知道。 我們懷疑情況確實如此，但是尚未得到證實。 如果我們發現一個NP問題不在NP完全中，那將證明P = / = NP。

這是CS中尚未解決的重大問題之一。 許多聰明的人一直在嘗試，但是這個螺母一直是一個難以克服的難題。