Matlab優化-約束中優化變量的條件和

Question

我正在嘗試使用MATLAB （bintprog）中的二進制變量來解決ILP問題。 我需要定義如下的約束：

我想對二進制變量x<sub>i, j</sub>求和，直到其中一個zero ，然后停止該求和。 如何在ILP中定義此約束？

Answer 1

在我看來，這是非常不典型的MIP約束。 這是我嘗試制定的方式：

您必須考慮：

編輯

以二進制輔助變量的兩倍數量為代價，也可以在沒有bigM常數的情況下公式化它。

草圖：

與其使用單方面的含義來設置指標，不如使用等於 == 兩種含義 ->沒有aux-var是免費的； 全部為0或1，僅取決於x（z）
現在，按照以下思路構建第二層二進制輔助變量（b_i）： b_i >= smallConst * b_i-1 + smallConst * a_i （smallConst in（0，0.5]；不應接近0）
將b-vector用於最終的總和約束（如上文所述；但不再使用a-vector！）

Answer 2

我的閱讀方式（有點困難，因為幾乎沒有解釋；我想這個問題的措辭可能更清楚），這實際上是在計算第一個x(k)的值為1。這里我假設x(i,j)映射到x(k)因此我們可以更好地定義順序。 可以使用新的二進制變量y(k)進行計數：

y(k) = x(k)*y(k-1)   if k>1
y(k) = x(k)          if k=1
y(k) in {0,1}

例如：

x = [1 1 1 0 1 0]
y = [1 1 1 0 0 0]

非線性表達式x(k)*y(k-1)可以很容易地線性化（它是兩個二進制變量的乘積；請參見此處；請注意，使用此公式，我們甚至可以將y(k)放寬到0和1之間的連續值）。 優化的版本如下所示：

y(k) >= x(k)+y(k-1)-1   if k>1
y(k) = x(k)             if k=1
0 <= y(k) <= 1

現在你可以做

sum(k, y(k)) <= c

這種表述也可以說：前導1的數量應在c1和c2之間。

我們也可以立即寫：

x(1) + ... + x(c+1) <= c

這也禁止超過c的前1個，甚至更簡單。

我們更經常看到的另一個問題（例如，在發電機調度中）是以下條件：我們不能打開c個以上連續x(k) （即，在c個連續周期內，發電機不能打開超過c個連續周期）開啟時，必須關閉發電機至少1個小時）。 這意味着我們不允許序列超過c 1個。