具有 MPFR 的不同精度的次正規數

Question

我想模擬各種n位二進制浮點格式，每種格式都有指定的e_max和e_min ，精度為p位。 我希望這些格式能夠模擬次正規數，忠實於 IEEE-754 標准。

自然地，我的搜索使我找到了 MPFR 庫，它符合 IEEE-754 標准，並且能夠通過mpfr_subnormalize()函數支持次mpfr_subnormalize() 。 但是，我在使用mpfr_set_emin()和mpfr_set_emax()正確設置非正常啟用環境時遇到了一些困惑。 我將使用 IEEE 雙精度作為示例格式，因為這是 MPFR 手冊中使用的示例：

http://mpfr.loria.fr/mpfr-current/mpfr.html#index-mpfr_005fsubnormalize

mpfr_set_default_prec (53);
mpfr_set_emin (-1073); mpfr_set_emax (1024);

上面的代碼來自上面鏈接中的 MPFR 手冊 - 請注意， e_max和e_min都不等於double的預期值。 這里， p被設置為 53，正如預期的double類型，但是e_max被設置為 1024，而不是正確的值 1023，並且e_min被設置為 -1073； 遠低於 -1022 的正確值。 我知道在 MPFR 的中間計算中將指數邊界設置得太緊會導致上溢/下溢，但我發現准確設置e_min對於確保正確的次正規數至關重要； 太高或太低會導致低於正常的 MPFR 結果（用mprf_subnormalize()更新）與相應的double結果不同。

我的問題是應該如何決定將哪些值傳遞給mpfr_set_emax()和（尤其是） mpfr_set_emin() ，以保證具有指數邊界e_max和e_min的浮點格式的正確次正常行為？ 似乎沒有關於此事的任何詳細文檔或討論。

衷心感謝，

詹姆斯。

編輯 30/07/16：這是一個小程序，它演示了單精度數的e_max和e_min的選擇。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <float.h>
#include <mpfr.h>

using namespace std;

int main (int argc, char *argv[]) {
    cout.precision(120);

    // IEEE-754 float emin and emax values don't work at all
    //mpfr_set_emin (-126);
    //mpfr_set_emax (127);

    // Not quite
    //mpfr_set_emin (-147);
    //mpfr_set_emax (128);

    // Not quite
    //mpfr_set_emin (-149);
    //mpfr_set_emax (128);

    // These float emin and emax values work in subnormal range
    mpfr_set_emin (-148);
    mpfr_set_emax (128);

    cout << "emin: " << mpfr_get_emin() << "    emax: " << mpfr_get_emax() << endl;

    float f = FLT_MIN;
    for (int i = 0; i < 3; i++) f = nextafterf(f, INFINITY);

    mpfr_t m;
    mpfr_init2 (m, 24);
    mpfr_set_flt (m, f, MPFR_RNDN);

    for (int i = 0; i < 6; i++) {
        f = nextafterf(f, 0);
        mpfr_nextbelow(m);
        cout << i << ": float: " << f << endl;
        //cout << i << ":  mpfr: " << mpfr_get_flt (m, MPFR_RNDN) << endl;
        mpfr_subnormalize (m, 1, MPFR_RNDN);
        cout << i << ":  mpfr: " << mpfr_get_flt (m, MPFR_RNDN) << endl;
    }

    mpfr_clear (m);
    return 0;
}

Answer 1

我正在復制我在 ResearchGate 上給出的答案（帶有指向mpfr_subnormalize文檔的鏈接）：

有不同的約定來表示有效數和相關的指數。 IEEE 754 選擇考慮 1 和 2 之間的有效數，而 MPFR（如 C 語言，例如參見DBL_MAX_EXP ）選擇考慮 1/2 和 1 之間的有效數（出於與多精度相關的實際原因）。 例如，數字 17 在 IEEE 754 中表示為 1.0001·2 ⁴ ，在 MPFR 中表示為 0.10001·2 ⁵ 。 如您所見，這意味着與 IEEE 754 相比，MPFR 中的指數增加了 1，因此 e _max = 1024 而不是雙精度的 1023。

關於雙精度e _min的選擇，需要能夠表示2 ^-1074 = 0.1·2 ^-1073 ，因此e _min最多需要為-1073（如在MPFR中，所有數字都被歸一化）。

如文檔所述， mpfr_subnormalize函數認為次正規指數范圍是從 e _min到 e _min + PREC(x) − 1，因此例如，您需要設置 e _min = −1073 以模擬 IEEE 雙精度。