具有 MPFR 的不同精度的次正规数

Question

我想模拟各种n位二进制浮点格式，每种格式都有指定的e_max和e_min ，精度为p位。 我希望这些格式能够模拟次正规数，忠实于 IEEE-754 标准。

自然地，我的搜索使我找到了 MPFR 库，它符合 IEEE-754 标准，并且能够通过mpfr_subnormalize()函数支持次mpfr_subnormalize() 。 但是，我在使用mpfr_set_emin()和mpfr_set_emax()正确设置非正常启用环境时遇到了一些困惑。 我将使用 IEEE 双精度作为示例格式，因为这是 MPFR 手册中使用的示例：

http://mpfr.loria.fr/mpfr-current/mpfr.html#index-mpfr_005fsubnormalize

mpfr_set_default_prec (53);
mpfr_set_emin (-1073); mpfr_set_emax (1024);

上面的代码来自上面链接中的 MPFR 手册 - 请注意， e_max和e_min都不等于double的预期值。 这里， p被设置为 53，正如预期的double类型，但是e_max被设置为 1024，而不是正确的值 1023，并且e_min被设置为 -1073； 远低于 -1022 的正确值。 我知道在 MPFR 的中间计算中将指数边界设置得太紧会导致上溢/下溢，但我发现准确设置e_min对于确保正确的次正规数至关重要； 太高或太低会导致低于正常的 MPFR 结果（用mprf_subnormalize()更新）与相应的double结果不同。

我的问题是应该如何决定将哪些值传递给mpfr_set_emax()和（尤其是） mpfr_set_emin() ，以保证具有指数边界e_max和e_min的浮点格式的正确次正常行为？ 似乎没有关于此事的任何详细文档或讨论。

衷心感谢，

詹姆斯。

编辑 30/07/16：这是一个小程序，它演示了单精度数的e_max和e_min的选择。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <float.h>
#include <mpfr.h>

using namespace std;

int main (int argc, char *argv[]) {
    cout.precision(120);

    // IEEE-754 float emin and emax values don't work at all
    //mpfr_set_emin (-126);
    //mpfr_set_emax (127);

    // Not quite
    //mpfr_set_emin (-147);
    //mpfr_set_emax (128);

    // Not quite
    //mpfr_set_emin (-149);
    //mpfr_set_emax (128);

    // These float emin and emax values work in subnormal range
    mpfr_set_emin (-148);
    mpfr_set_emax (128);

    cout << "emin: " << mpfr_get_emin() << "    emax: " << mpfr_get_emax() << endl;

    float f = FLT_MIN;
    for (int i = 0; i < 3; i++) f = nextafterf(f, INFINITY);

    mpfr_t m;
    mpfr_init2 (m, 24);
    mpfr_set_flt (m, f, MPFR_RNDN);

    for (int i = 0; i < 6; i++) {
        f = nextafterf(f, 0);
        mpfr_nextbelow(m);
        cout << i << ": float: " << f << endl;
        //cout << i << ":  mpfr: " << mpfr_get_flt (m, MPFR_RNDN) << endl;
        mpfr_subnormalize (m, 1, MPFR_RNDN);
        cout << i << ":  mpfr: " << mpfr_get_flt (m, MPFR_RNDN) << endl;
    }

    mpfr_clear (m);
    return 0;
}

Answer 1

我正在复制我在 ResearchGate 上给出的答案（带有指向mpfr_subnormalize文档的链接）：

有不同的约定来表示有效数和相关的指数。 IEEE 754 选择考虑 1 和 2 之间的有效数，而 MPFR（如 C 语言，例如参见DBL_MAX_EXP ）选择考虑 1/2 和 1 之间的有效数（出于与多精度相关的实际原因）。 例如，数字 17 在 IEEE 754 中表示为 1.0001·2 ⁴ ，在 MPFR 中表示为 0.10001·2 ⁵ 。 如您所见，这意味着与 IEEE 754 相比，MPFR 中的指数增加了 1，因此 e _max = 1024 而不是双精度的 1023。

关于双精度e _min的选择，需要能够表示2 ^-1074 = 0.1·2 ^-1073 ，因此e _min最多需要为-1073（如在MPFR中，所有数字都被归一化）。

如文档所述， mpfr_subnormalize函数认为次正规指数范围是从 e _min到 e _min + PREC(x) − 1，因此例如，您需要设置 e _min = −1073 以模拟 IEEE 双精度。