矛盾證明

Question

我正在嘗試通過矛盾進行證明，但不太了解如何正式記錄下來或在這種情況下如何得出答案。 我正在做條件語句。

我要解決的問題是“給定前提，h ^〜r和（h ^ n）-> r，表明您可以使用矛盾證明來得出〜n。

我已經將h ^〜r和（h ^ n）-> r取反，但是我不確定如何使用這兩個來證明〜n

到目前為止，我已經寫了：

（i。）〜（（（h ^ n）-> r）

（ii。）〜（h ^〜r）

因此，〜n

我最難的部分是，這不是我可以想象得到的否定，而且一步一步回答如何做這些證明之一將非常有用，謝謝！

Answer 1

假設

~(((h ^ ~r) ^ ((h^n) --> r)) --> ~n)

然后，

~(~((h ^ ~r) ^ ((h^n) --> r)) v ~n)
=> ~(~(h ^ ~r) v ~((h^n) --> r)) v ~n)
=> ~((~h v r) v ~(~(h^n) v r)) v ~n)
=> ~((~h v r) v ((h^n) ^ ~r)) v ~n)
=> ~((~h v r) v (h ^ n ^ ~r)) v ~n)
=> ~((((~h v r v h) ^ (~h v r v n) ^ ((~h v r) v ~r)) v ~n)
=> ~(((true) ^ (~h v r v n) ^ (true)) v ~n)
=> ~((~h v r v n) v ~n)
=> ~(~h v r v n v ~n)
=> ~((~h v r) v (n v ~n))
=> ~((~h v r) v (true))
=> ~(true)
=> false //contradiction

因此，

((h ^ ~r) ^ ((h^n) --> r)) --> ~n

Answer 2

讓我們定義：

p1 := h ^ ~r,    p2 := (h ^ n) -> r   and   q := ~n

我們要證明p1 ^ p2 -> q 。

矛盾地假設q=false 。 然后n=true 。 有兩種情況r=true和r=false 。

情況r=true

那么p1不能為true因為~r=false 。 矛盾。

情況r=false

從p2我們推斷出(h ^ n)必須為false 。 鑒於我們假設n=true ，它必須為h=false ，與p1矛盾。

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直接證明

從p1得到h=true和r=false 。 現在從p2推論出(h ^ n) = false 。 並且由於h=true ，它必須為n=false或~n=true 。

Answer 3

我認為OP可能是通過矛盾來詢問或誤解了證明的結構，而不是要求特定示例提供詳細的證明。

結構是這樣的...

1. 我們被告知要假設一組事物A1, A2, ... An
2. 我們還假設我們最終希望證明的否定，即~C
3. 做一些以任何矛盾為結尾的邏輯，我們所說的任何形式為X & ~X語句
4. 現在我們思考一下這意味着什么。 由於矛盾永遠不可能成立，因此我們的n+1假設中的至少一個必然有問題。 可能是部分或全部假設是錯誤的。 但是，如果任何n的假設是真的，那么剩下的一個也不能如此。 在這一階段，我們不能說是哪個問題。
5. 在這種情況下，我們已被告知提前接受A1, A2, ... An ，並在此基礎上，我們可以選擇的假設~C作為一個被拒絕。
6. 作為最后一步，我們得出結論，如果A1, A2, ... An為真，則C必須為真。