空間復雜度為O（n）的二進制矩陣的表示

Question

我有nxn個二進制矩陣（即元素為0或1的矩陣）。 使用二維數組（即存儲每個元素的值）的空間復雜度為O（n ^ 2）。

有沒有辦法以空間復雜度為O（n）的方式存儲它們？ 歡迎進行所有操作，如求和，減法等。

矩陣不是稀疏的，因此使用非零元素列表毫無疑問。

Answer 1

第一個proof ： n*n位矩陣具有n*n個狀態。 但是，使用n位字符串時，只能存儲n個狀態。 因此，除非n>=n*n （例如n = 1），否則無法編碼n位序列中的n n*n位。

第二個proof ，不是那么抽象，但是也不太完整：想象一下，您有一個16 * 16的256位矩陣，並且設法將其存儲為16位。 現在，當然，您可以使用算法將這16位存儲在4x4矩陣中，得出4位。 現在，將4位存儲在2x2矩陣中，並將它們壓縮為2位。 ->本質上，這樣的算法將能夠僅2位壓縮任何可想象的數據量。 盡管這不是一個實際的證明，但仍然很明顯這樣的算法不存在。

Answer 2

不，您不能在O（n）空間中存儲nxn二進制矩陣。 證明僅僅是信鴿的原理 。

假設您設計了一種存儲任意nxn二進制矩陣的方法。 有2 ^nxn個這樣大小的可能二進制矩陣。 如果您使用k位存儲空間，則存儲空間可能有2 ^k 。 現在，如果k <nxn，則我們有2 ^k <2 ^nxn ，並且根據信鴿原理，存在兩個不同的矩陣（例如A和B）以相同的方式存儲（例如X被存儲）。 因此，當您存儲了X時，您無法說出您實際打算存儲的矩陣是A還是B（或者可能是其他矩陣）。 因此，您無法將存儲唯一地解碼回存儲矩陣的形式，這破壞了存儲矩陣的整個目的。

Answer 3

我認為它不能保證您擁有O（n）空間，但是您可以尋找一種稱為LZW（Lempel-Ziv-Welch）的壓縮算法。

它非常容易編碼，並且很容易理解其原因和工作方式，並且對於二進制數組也應該非常有效，並且矩陣越大，壓縮率越好。

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無論如何，如果您知道有關矩陣的一些信息，則可以嘗試以某種方式將其表示為數組，以便進行還原，例如：

如果矩陣是32x32尺寸，則可以獲取矩陣的任何行並將其表示為單個int ，因此整行將變為單個數字，並且您的O（n）