如何在不創建循環的情況下向有向無環圖添加邊

Question

我有一個帶有有向邊和無向邊的圖，現在我想通過用有向邊替換它們來擺脫無向邊（每個無向邊變成一個有向邊）。 每個無向邊都有兩種可能性（用一個方向或另一個方向的有向邊替換它）。

如何確定無向邊的方向以使我的圖保持無環？

我的做法：

創建一個僅包含有向邊的圖，稍后將無向邊 1 x 1（作為有向邊）添加。 現在我有一個DAG ，我的問題減少到在保持 DAG 屬性的同時向圖中添加有向邊（只有有向邊，沒有循環）。

如何向 DAG 添加邊並確保生成的圖也是 DAG？

Answer 1

使用您擁有的所有有向邊構建初始 DAG。 對它進行拓撲排序。 將排序所施加的偏序擴展為全序（例如，在級別格中排列頂點並逐級枚舉它們）。 請注意，所有邊都從較小的頂點到較大的頂點。

現在根據總順序（從較小的頂點到較大的頂點）引導您的無向邊。 很容易看出結果圖沒有循環（要存在循環，必須有一條向相反方向的邊）。

Answer 2

這對我有用：

對沒有無向邊的圖進行拓撲排序，將無向邊一條一條相加（使它們從較大的topo-vlalue指向較小的）。

這樣可以保證 DAG 在添加邊后仍將是 DAG。

@ user58697，無需擴展偏序，因為在對圖形進行拓撲排序后存在全序。 每個節點的拓撲值與其他拓撲值相當。

Answer 3

讓我們通過看一個例子來嘗試解決這個問題：-

假設我有以下一組頂點作為有向頂點：-

(1,2)
(2,3)
(4,5)
(5,6)
(7,3)

我們跟隨一組無向頂點：-

(3,4)
(6,7)

所以現在如果我們在紙上創建我們的圖表，它應該看起來像這樣

1 -> 2 -> 3 
         /  \
        /  4   -> 5 -> 6
       /              /  \
     -----------------7 

所以你可以清楚地看到存在兩個無向邊，我們想用有向邊替換它們，

所以我們可以選擇第一個無向對作為 (3,4) 並放置一個頂點 3 -> 4 之后我們將調用 dfs(1)，如果找到一個循環，那么 (3,4) 不是一個有效的循環，然后我們將放置為 4 -> 3 但在我們的情況下 3 -> 4 不會導致任何循環。

我們繼續下一個稱為 (6,7) 的對，放置 6 -> 7 會導致循環，因此我們放置 7 -> 6，這給了我們一個 DAG。

這就像一個蠻力解決方案。 讓我再考慮一下，有沒有更好的方法來解決這個問題。

Answer 4

在不創建循環的情況下添加到 DAG 的鏈接

1. 在 DAG 中隨機選擇一個新鏈接將指向的節點。 讓它成為一個toNode 。
2. 將toNode連接到圖中不在該toNode子樹中的任何其他節點。

它永遠不會產生循環。

Answer 5

基本思想是進行拓撲排序。

例如，在拓撲排序數組是 3,4,5,6,1,2 之后我們從 3 引導無向邊 -> 其他邊
之后做 4 次，然后 5 次，依此類推

這樣可以保證 DAG 在添加邊后仍將是 DAG。

Answer 6

1. 按拓撲順序對節點進行排序
2. 在不存在邊的“右側”創建從每個節點到節點的邊

完畢！